📂線形代数

ベクトル空間の基底

定義¹

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}$をベクトル空間$V$の部分集合としよう。$S$が下記の二条件を満たす時、$S$を$V$の基底^basisという。

• $S$が$V$を生成する。

  $$V = \text{span}(S)$$

• $S$が線形独立である。

説明

基底の名前から推測できるように、「ベクトル空間を作り出すことができる最も小さいもの」の概念に当たる。生成という条件が「ベクトル空間を作る」という意味を持ち、線形独立という条件が「最も小さい」という意味を持つ。ベクトル空間を作ることは分かるが、最も小さなものでなければならない理由については直ちに理解できないかもしれない。しかし、簡単な例を一つ見ればすぐに理解できるだろう。例えば、私たちは$(2,3)$というベクトルを

$$(2,3)=1(1,0) + 2(0,1) + 1(1,1)$$

のように表さない。$(1,1)$を$(1,0), (0,1)$の線形結合で表すことができるからだ。つまり、上の式は不必要に長く記載した表現にすぎないということだ。従って、線形独立という条件はそのベクトルを基底の線形結合で表す時、最もすっきりと、必要なものだけをまとめた形で表されるようにしてくれる。

ここで注意すべきことは、一つのベクトル空間に対して基底が特に一意に存在する必要はないということだ。例を挙げると、$\left\{ (1,0) , (0,1) \right\}$は$\mathbb{R}^{2}$を生成する基底だ。しかし、定義によれば$\left\{ (2,0) , (0,2) \right\}$も$\mathbb{R}^2$の基底になることができる。それだけか？実は$\left\{ (1,1) , (-1,1) \right\}$も$\mathbb{R}^2$を生成する上で全く問題がない。ただ、一般的に$\mathbb{R}^{n}$では、下記のベクトルから成る基底を扱う。

$$\mathbf{e}_{1} = (1,0,0,\dots,0), \quad \mathbf{e}_{2}=(0,1,0,\dots,0),\quad \mathbf{e}_{n}=(0,0,0,\dots,1)$$

このような基底を$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$を$\mathbb{R}^{n}$上の標準基底^{standard basis for $\mathbb{R}^{n}$}という。各$\mathbf{e}_{i}$は標準単位ベクトル^{standard unit vector}と呼ばれる。特に$n=3$の場合は、一般的に以下のように表記される。

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{x}} =&\ \mathbf{e}_{1} = \hat{\mathbf{x}}_{1} = \mathbf{i}=(1,0,0) \\ \hat{\mathbf{y}} =&\ \mathbf{e}_{2} = \hat{\mathbf{x}}_{2} = \mathbf{j}=(0,1,0) \\ \hat{\mathbf{z}} =&\ \mathbf{e}_{3} = \hat{\mathbf{x}}_{3} = \mathbf{k}=(0,0,1) \end{align*}$$

以下の定理から、座標の概念を抽象化されたベクトル空間でも話すことができる。$\mathbf{v} \in V$が$(1)$のように表される時、$[\mathbf{v}]_{S}$を基底$S$に対する$\mathbf{v}$の座標ベクトル^{coordinate vector $\mathbf{x}$ of relative of $S$}という。

$$[\mathbf{v}]_{S} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix}$$

定理: 基底表現の一意性

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$をベクトル空間$V$の基底としよう。すると、全てのベクトル$\mathbf{v} \in V$に対して

$$\begin{equation} \mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n} \end{equation}$$

と表現する方法は一意である。つまり、上記の式を満たす係数の組$(c_{1},c_{2},\dots,c_{n})$が一意に存在する。

証明

$S$が$V$を生成するため、生成の定義に従い、$V$の全てのベクトルは$S$の線形結合で表せる。あるベクトル$\mathbf{v}$が下記の二つの線形結合で表せるとしよう。

$$\begin{align*} \mathbf{v} &= c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n} \\ \mathbf{v} &= k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n} \end{align*}$$

上記の式から下の式を引くと、次のようになる。

$$\mathbf{0} = (c_{1} - k_{1}) \mathbf{v}_{1} + (c_{2} - k_{2}) \mathbf{v}_{2} + \cdots + (c_{n} - k_{n}) \mathbf{v}_{n}$$

しかし$\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n}$は線形独立であるため、上記の式を満たす解はオロジ

$$c_{1} - k_{1} = 0,\quad c_{2} - k_{2} = 0,\quad \dots,\quad c_{n} - k_{n} = 0$$

のみである。従って、次が成り立つ。

$$c_{1} = k_{1},\quad c_{2} = k_{2},\quad \dots,\quad c_{n} = k_{n}$$

よって、二つの線形結合表現は同一である。

■