ユニタリ行列
📂行列代数ユニタリ行列
定義
ユニタリ行列
Aを正方形の複素数行列とする。Aが以下の式を満たす時、ユニタリ行列unitaryと呼ぶ。
A−1=A∗
この時、A−1はAの逆行列、A∗はAの共役転置である。
ユニタリ対角化
サイズがn×nの正方行列Aが与えられたとする。Aが対角行列Dとユニタリ行列Pに対して次の式を満たす場合、ユニタリ対角化可能unitarily diagonalizableと言う。
P∗AP=D
このような条件を満たすPは行列Aをユニタリ対角化するunitarily diagonalizeと言う。
説明
ユニタリ行列は簡単に言うと、複素数行列に対して拡張された直交行列である。従って、直交行列の性質をそのまま持つ。以下のユニタリ行列の同値条件に関する証明は、直交行列の証明に置き換える。
定理
ユニタリ行列の同値条件: n×nサイズの複素数行列Aに対して、以下の命題は全て同値である。
Aはユニタリ行列である。
Aの行ベクトルの集合はCnの正規直交集合である。
Aの列ベクトルの集合はCnの正規直交集合である。
Aは内積を保持する。つまり、全てのx,y∈Cnに対して、以下が成立する。
(Ax)⋅(Ay)=x⋅y
- Aは長さを保持する。つまり、全てのx∈Cnに対して、以下が成立する。
∥Ax∥=∥x∥