logo

ユニタリ行列 📂行列代数

ユニタリ行列

定義

ユニタリ行列

AAを正方形の複素数行列とする。AAが以下の式を満たす時、ユニタリ行列unitaryと呼ぶ。

A1=A A^{-1}=A^{\ast}

この時、A1A^{-1}AA逆行列AA^{\ast}AA共役転置である。

ユニタリ対角化1

サイズがn×nn \times nの正方行列AAが与えられたとする。AAが対角行列DDとユニタリ行列PPに対して次の式を満たす場合、ユニタリ対角化可能unitarily diagonalizableと言う。

PAP=D P^{\ast} A P = D

このような条件を満たすPPは行列AAユニタリ対角化するunitarily diagonalizeと言う。

説明

ユニタリ行列は簡単に言うと、複素数行列に対して拡張された直交行列である。従って、直交行列の性質をそのまま持つ。以下のユニタリ行列の同値条件に関する証明は、直交行列の証明に置き換える。

定理2

ユニタリ行列の同値条件: n×nn \times nサイズの複素数行列AAに対して、以下の命題は全て同値である。

  • AAはユニタリ行列である。

  • AAの行ベクトルの集合はCn\mathbb{C}^n正規直交集合である。

  • AAの列ベクトルの集合はCn\mathbb{C}^nの正規直交集合である。

  • AA内積を保持する。つまり、全てのx,yCn\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{C}^{n}に対して、以下が成立する。

(Ax)(Ay)=xy (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}

  • AA長さを保持する。つまり、全てのxCn\mathbf{x}\in \mathbb{C}^{n}に対して、以下が成立する。

Ax=x \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\|


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Applications Version (12th Edition, 2019), 440ページ ↩︎

  2. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Applications Version (12th Edition, 2019), 439ページ ↩︎