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逆行列、可逆行列 📂行列代数

逆行列、可逆行列

定義

AAをサイズn×nn\times nの任意の正方行列としよう。AAと行列の積が可能で、以下の式を満たす行列LLをAAの左逆行列という。

LA=In LA=I_{n}

ここでInI_{n}はサイズn×nn\times nの単位行列である。AAと行列の積が可能で、以下の式を満たす行列RRをAAの右逆行列という。

AR=In AR=I_{n}

AAが左/右逆行列を両方持っていれば、これらは互いに等しくA−1A^{-1}と表記され、AAの逆行列という。

A−1A=In=AA−1 A^{-1}A=I_{n}=AA^{-1}

AAが逆行列を持つ場合、AAを可逆行列または非特異行列という。AAが逆行列を持たない場合、AAを特異行列という。

説明

定義により、LALAのサイズがn×nn\times nでなければならないので、LLは必ずn×nn \times n行列でなければならず、RRも同様である。AAを正方行列に限定した理由は、A−1A^{-1}がAAの両側から掛けられる必要があるためである。同様に行列の積は交換可能ではないため、左/右逆行列が両方存在する必要がある。実際に、任意の行列が左/右逆行列を持つ場合、これらは常に同じである。

性質

AAとBBを任意のn×nn \times n正方行列としよう。すると、以下が成り立つ。

(a) AAが左逆行列LLと右逆行列RRを持つ場合、これらは同じである。

L=A−1=R L=A^{-1}=R

(b) AAの逆行列が存在する場合、それは一意である。

(c) AB=I  ⟺  BA=IAB = I \iff BA = I

(d) AAとBBを可逆行列としよう。すると、2つの行列の積ABABも可逆であり、その逆行列は次の通りである。

(AB)−1=B−1A−1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

(d’) 同じサイズの可逆行列の積も可逆であり、その逆行列はそれぞれの逆行列を逆順に掛けたものと同じである。つまり、A1,A2,…,AnA_{1},A_{2},\dots,A_{n}が可逆行列ならば、次が成り立つ。

(A1A2⋯An)−1=An−1⋯A2−1A1−1 \left( A_{1}A_{2}\cdots A_{n} \right)^{-1} = A_{n}^{-1}\cdots A_{2}^{-1} A_{1}^{-1}

(e) ABABが可逆ならば、AAとBBも可逆である。

(f) AAが可逆ならば、転置も可逆であり、その逆行列は次の通りである。

(AT)−1=(A−1)T \left( A^{T} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{T}

従って、(c)   ⟺  \iff (d) であることがわかる。

証明

(a)

n×nn\times n行列AAが与えられたとしよう。LLがAAの左逆行列だとしよう。すると、下記の式が成り立つ。

LA=In LA=I_{n}

RRをAAの右逆行列としよう。RRを上記式の右辺に掛けると、次のようになる。

LAR=InR=R LAR = I_{n}R =R

しかし、RRはAAの右逆行列であるため、LAR=LIn=LLAR=LI_{n}=Lが成り立つ。従って、上記の式は次のようになる。

L=R L=R

■

(b)

任意の正方行列AAが異なる2つの逆行列BBとCCを持つと仮定しよう。それから下記の計算ができる。

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

しかし、この結果はBBとCCが異なるという仮定に矛盾する。従って、仮定は誤りであり、逆行列が存在する場合、それは一意である。

■

(c)

一般性を失うことなく、BA=I  ⟹  AB=IBA = I \implies AB = Iだけを証明しよう。BA=IBA = Iと仮定しよう。これから式Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0}を考える。

Ax=0  ⟹  B(Ax)=B0  ⟹  (BA)x=0 \begin{align*} A\mathbf{x} = \mathbf{0} &\implies B(A\mathbf{x}) = B \mathbf{0} \\ &\implies (BA)\mathbf{x} = \mathbf{0} \end{align*}

ここで、BA=IBA = Iと仮定したので、x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}である。従って、Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0}は自明の解だけを持つ。

可逆行列の同値条件

AAをサイズn×nn\times nの正方行列としよう。すると、以下の命題は全て同値である。

可逆行列の同値条件により、AAは可逆である。従って、A−1A^{-1}が存在し、

BA=I  ⟹  A(BA)A−1=AIA−1  ⟹  AB=I BA = I \implies A(BA)A^{-1} = AIA^{-1} \implies AB = I

■

(d)

AAとBBをサイズn×nn\times nの可逆行列としよう。その時、A−1A^{-1}とB−1B^{-1}が存在する。まず、B−1A−1B^{-1}A^{-1}をABABの右に掛けてみよう。それは次のようになる。

(AB)(B−1A−1)=ABB−1A−1=AInA−1=AA−1=In \begin{align*} (AB)(B^{-1}A^{-1}) &= ABB^{-1}A^{-1} \\ &= AI_{n}A^{-1} = AA^{-1} \\ &= I_{n}\end{align*}

左に掛けると、次のようになる。

(B−1A−1)(AB)=B−1A−1AB=B−1InB=B−1B=In \begin{align*} (B^{-1}A^{-1})(AB) &= B^{-1}A^{-1}AB \\ &= B^{-1}I_{n}B = B^{-1}B \\ &= I_{n}\end{align*}

従って、ABABは可逆行列であり、その逆行列はB−1A−1B^{-1}A^{-1}である。

■

(d')

これは**(d)**の帰結として成立する。

■

(e)

ABABの逆行列をCCとしよう。すると、ABC=InABC=I_{n}が成り立つ。従って、(c)により、AAは可逆であり、A−1=BCA^{-1}=BCが成り立つ。また、CAB=InCAB=I_{n}であるため、BBも可逆であり、B−1=CAB^{-1}=CAが成り立つ。

(f)

2つの行列を掛け合わせて単位行列が出るか確認すればよい。転置行列の性質により、次のようになる。

AT(A−1)T=(A−1A)T=IT=I A^{T} \left( A^{-1} \right)^{T} = \left( A^{-1} A \right) ^{T} = I^{T} = I

(A−1)TAT=(AA−1)T=IT=I \left( A^{-1} \right)^{T} A^{T} = \left( A A^{-1} \right)^{T} = I^{T} = I

従って

(AT)−1=(A−1)T \left( A^{T} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{T}

■