📂行列代数

転置行列

定義¹

サイズが$m\times n$の行列を$A$としよう。$A$の行と列を入れ替えた行列を$A$の転置行列^{transpose, 転置}と言い、$A^{\mathsf{T}}$または$A^{T}$, $A^{t}$と表記する。

説明

定義に従えば、$A$が$m \times n$行列ならば、$A^{\mathsf{T}}$は$n \times m$行列になる。また、$A$の$i$番目の行は$A^{\mathsf{T}}$の$i$番目の列と同じで、その逆もまた然りだ。

$$A=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 22 \end{bmatrix} ,\quad A^{\mathsf{T}} = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 8 \\ 3 & 22 \end{bmatrix}$$

主対角線を基準に左右対称にしたと考えることもできる。

性質

$r,s\in \mathbb{R}$且つ$A,B$がそれぞれの場合において行列の演算がうまく定義されるサイズであるとしよう。すると、以下が成り立つ。

(a) 線形性: $$\left( rA + sB\right)^{\mathsf{T}}=r A^{\mathsf{T}} + s B^{\mathsf{T}}$$

(b) 積の転置は、転置を逆順に掛けたものと同じである。

$$(AB)^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}$$

(b’) 複数の行列の積の転置は、それぞれの転置を逆順に掛けたものと同じである。

$$\left( A_{1} A_{2}\cdots A_{n} \right)^{\mathsf{T}} = A_{n}^{\mathsf{T}} \cdots A_{2}^{\mathsf{T}} A_{1}^{\mathsf{T}}$$

証明

(b)

$m\times n$行列$A$と$n\times k$行列$C$について

$$\begin{align*} \left[ { \left( AC \right) }^{\mathsf{T}}\right] _{ km } &= \sum _{ i=1 }^{ n }{ [A] _{ m i } { [C] } _{ i k } } \\ &= \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left[ { A }^{\mathsf{T}}\right] } _{ i m } { \left[ { C }^{\mathsf{T}}\right] } _{ k i } } \\ &= \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left[ { C }^{\mathsf{T}}\right] } _{ k i }{ \left[ { A }^{\mathsf{T}}\right] } _{ i m } } \\ &= { \left[ { C }^{\mathsf{T}}{ A }^{\mathsf{T}}\right] } _{ km } \end{align*}$$

従って、各成分が互いに等しい場合、行列は等しく次の式が成り立つ。

$$\left( AC \right) ^{\mathsf{T}}= { C }^{\mathsf{T}}{ A }^{\mathsf{T}}$$

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(b')

これは**(b)**の帰結として成り立つ。

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