logo

平均がゼロの正規分布に従う確率変数のべき乗の期待値 📂確率分布論

平均がゼロの正規分布に従う確率変数のべき乗の期待値

公式

確率変数 XX正規分布 N(0,σ2)N \left( 0 , \sigma^{2} \right) に従うとすると、その累乗 XnX^{n}期待値 は次のように再帰的な公式で表される1E(Xn)=(n1)σ2E(Xn2) E \left( X^{n} \right) = (n - 1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) E(Xn)E \left( X^{n} \right)nn が奇数のとき 00 であり、偶数のときは以下の通りである2E(X2n)=(2n1)!!σ2n E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n} ここでビックリマークが二つ入った k!!=k(k2)k!! = k \cdot \left( k - 2 \right) \cdots二重階乗 を示す。

説明

広く知られる系として E(X4)=3σ4E \left( X^{4} \right) = 3 \sigma^{4} が成立し、これは 伊藤の公式の導出 などに利用できる。

導出

結果を得る二つの方法がある。ガウス積分を用いる方式は一般化された公式を通じたショートカットであり、導出が簡単で速い。部分積分を用いる方式は多少難解だが、その過程で再帰公式も得ることができる。どちらの方法も次のように E(Xn)E \left( X^{n} \right) を積分で解くことから始まる。 E(Xn)=12πσxnex2/2σ2dx E \left( X^{n} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} x^{n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx

ガウス積分を利用した方式

ガウス積分の一般化: nn自然数 としよう。 x2neαx2dx=(2n)!n!22nπα2n+1x2n+1eαx2dx=0 \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}dx =& \dfrac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}} \\ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^{2}}dx =& 0 \end{align*}

連続した奇数の積: 整数 n0n \ge 0 に関して次が成立する。 (2n1)(2n3)531=(2n)!2n(n!)=(2n1)!! (2n-1) \cdot (2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 = \dfrac{(2n)!}{2^{n} (n!)} = (2n-1)!!

nn が奇数なら公式によってすぐに E(Xn)=0E \left( X^{n} \right) = 0 である。nn が偶数なら α=1/2σ2\alpha = 1/2 \sigma^{2} を代入して次を得る。 E(X2n)=12πσx2nex2/2σ2dx=12πσ(2n)!n!22nπ22n+1σ4n+2=(2n)!n!2n2n22nσ4n=(2n)!n!2n2n2nσ2n=(2n)!n!2nσ2n=(2n1)!!σ2n \begin{align*} E \left( X^{2n} \right) =& {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \\ =& {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \frac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\pi 2^{2n+1} \sigma^{4n+2}} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n} 2^{n}}\sqrt{2^{2n} \sigma^{4n}} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n} 2^{n}} 2^{n} \sigma^{2n} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n}} \sigma^{2n} \\ =& (2n-1) !! \sigma^{2n} \end{align*}

部分積分を利用した方式

In:=tnet2/2dt I_{n} := \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2} dt InI_{n} を上記のようにおき、部分積分法 を使おう。この部分は多少難解である。 In=tnet2/2dt=tn12t2et2/2dt=[tn1et2/2](n1)tn2et2/2dt=0(n1)In2 \begin{align*} - I_{n} =& - \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} t^{n-1} \cdot {\frac{ - 2 t }{ 2 }} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& \left[ t^{n-1} \cdot e^{-t^{2} / 2} \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (n-1) t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& 0 - (n-1) I_{n-2} \end{align*} 整理すると In=(n1)In2I_{n} = (n-1) I_{n-2} であり、これを E(Xn)E \left( X^{n} \right) を計算する過程に適用する。t=x/σt = x / \sigma と置換すると dx=σdtdx = \sigma dt になるので E(Xn)=12πσxnex2/2σ2dx=12πσ(σt)net2/2σdt=σn2πtnet2/2dt=σn2πIn=σn2π(n1)In2=(n1)σ2σn22πtn2et2/2dt=(n1)σ2σn22πtn2et2/2dt=(n1)σ2E(Xn2) \begin{align*} E \left( X^{n} \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} x^{n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \left( \sigma t \right)^{n} e^{-t^{2} / 2 } \cdot \sigma dt \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2 } dt \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} I_{n} \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} (n-1) I_{n-2} \\ =& (n-1) {\frac{ \sigma^{2} \cdot \sigma^{n-2} }{ \sqrt{2 \pi} }} \int_{-\infty}^{\infty} t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& (n-1) \sigma^{2} \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ \sigma^{n-2} }{ \sqrt{2 \pi} }} t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& (n-1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) \end{align*} を得る。XX は平均が 00 の正規分布と仮定したので E(X1)=0E \left( X^{1} \right) = 0 であり、すべての奇数 nn に対して E(Xn)=0E \left( X^{n} \right) = 0 である。偶数については再帰公式を展開することにより次の結果を得る。 E(X2n)=(2n1)σ2E(X2n2)=(2n1)σ2(2n3)σ2E(X2n4)=[(2n1)(2n3)1]σ2(n1)E(X2)=(2n1)!!σ2n \begin{align*} E \left( X^{2n} \right) =& (2n-1) \sigma^{2} E \left( X^{2n-2} \right) \\ =& (2n-1) \sigma^{2} \cdot (2n-3) \sigma^{2} E \left( X^{2n-4} \right) \\ \vdots& \\ =& [ (2n-1) (2n-3) \cdots 1 ] \sigma^{2(n-1)} E \left( X^{2} \right) \\ =& (2n-1)!! \sigma^{2n} \end{align*}


  1. grand_chat, Expected value of XnX^n for normal distribution, URL (version: 2020-11-10): https://math.stackexchange.com/q/2752327 ↩︎

  2. user65203, Proving E[X4]=3σ4E[X^4]=3σ^4, URL (version: 2018-11-26): https://math.stackexchange.com/q/1917666 ↩︎