算術平均と幾何平均・調和平均の間の不等式
定義
$n$個の正数${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$に対して、算術、幾何、調和平均は次の通りである。
- 算術平均 : $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { {x}_{k} }{ n } }=\frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n } $$
- 幾何平均 : $$ \prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } }=\sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} } $$
- 調和平均 : $$ \left( \frac { \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ {x}_{k} } } }{ n } \right)^{-1}=\frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } } $$
定理
これらに対して次の不等式が成り立つ。
$$ \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } } $$
説明
高校生なら一度は算術・幾何平均という言葉を耳にするが、それが正式な名称としてはっきり示されることはなく、普通は「算術幾何」という略称で口伝えされるのが通例である。$n=2$の場合については証明も簡単で、高校レベルの問題解法にも有用に使われる。高校生レベルでの一般的な証明は、煩雑な式をいじらなければならない数学的帰納法を使うしかないが、それより難しいものの洗練された証明を紹介する。
証明
戦略：次の補助定理を使う。
イェンセンの不等式： $f$が凸関数で$E(X) < \infty$のとき、次の不等式が成り立つ。 $$ E{f(X)}\ge f{E(X)} $$
算術・幾何
$f(x)=-\ln x$とすると、$f$は区間$(0,\infty )$で凸関数である。確率変数$X$が確率質量関数
$$ p(X=x)=\begin{cases}{1 \over n} & , x={x}_{1},{x}_{2}, \cdots ,{x}_{n} \\ 0 & , \text{그 이외의 경우}\end{cases} $$
を持つとしよう。すると$E(X)$は
$$ \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n }<\infty $$
なので有限である。これによりイェンセンの不等式に必要な条件をすべて満たし、次を得る。
$$ E(-\ln X)\ge –\ln E(X) $$
ここで左辺は
$$ \begin{align*} E(-\ln X)&=-E(\ln X) \\ &=-\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \ln{x}_{k} } \\ &=-\frac { 1 }{ n }\ln \prod _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \\ &=-\ln { \left( \prod _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \right) }^{ \frac { 1 }{ n } } \\ &=-\ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \end{align*} $$
右辺は
$$ \begin{align*} -\ln E(X)=-\ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \end{align*} $$
これを再び整理すると
$$ \begin{align*} -\ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \ge& -\ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \\ \implies \ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \ge& \ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \\ \implies \frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \ge& \prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \\ \implies \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n } \ge& \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n} } \end{align*} $$
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これにより算術平均と幾何平均の間の不等式が成り立つことが証明された。これを利用して幾何平均と調和平均の間の不等式が成り立つことを証明しよう。
幾何・調和
$$ \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n} } $$
で$\displaystyle {x}_{k}=\frac { 1 }{ {y}_{k} }$と置くと
$$ \begin{align*} \frac { \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }\frac { 1 }{ {y}_{2} }…\frac { 1 }{ {y}_{n} } } \\ \implies \frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }\frac { 1 }{ {y}_{2} }…\frac { 1 }{ {y}_{n} } } }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } } \\ \implies \sqrt [ n ]{ {y}_{1}{y}_{2}…{y}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } } \end{align*} $$
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