曲線座標系における勾配、発散、回転、ラプラシアン
解説
物理学で、デル演算子$\nabla$を含む4つの演算、勾配、発散、回転、ラプラシアンは非常に重要である。そのため、3つの座標系における上記の演算を必ず知っておく必要がある。もちろん、これが暗記しなければならないという意味ではない。物理学の勉強は公式を暗記するのではなく、勉強しているうちに自然と覚えることになるので、わざわざ暗記しようとせず、公式を印刷して持ち歩くか、このページをブックマークして必要な時にすぐに取り出せるようにしよう。
公式
$f$をスカラー関数、ベクトル関数$\mathbf A$を$\mathbf A= A_{1}\mathbf{\hat e_{1}}+A_2\mathbf{\hat e_2}+A_{3}\mathbf{\hat e_{3}}$とする。
$$ \begin{align*} \nabla f &= \mathbf{\hat e_{1}}\frac{1}{h_{1}}\frac{\partial f}{\partial e_{1}}+ \mathbf{\hat e_2}\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial e_2}+\mathbf{\hat e_{3}}\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial f}{\partial e_{3}} \\ &= \sum \limits_{i=1}^3 \mathbf{\hat e_{i}}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial f}{\partial e_{i}} \end{align*} $$
$$ \nabla \cdot \mathbf A=\frac{1}{h_{1}h_2h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial e_{1}} (h_2h_{3}A_{1}) + \frac{\partial}{\partial e_2} (h_{1}h_{3}A_2) + \frac{\partial}{\partial e_{3}} (h_{1}h_2A_{3}) \right] $$
$$ \nabla \times \mathbf A =\frac{1}{h_{1}h_2h_{3}} \begin{vmatrix} h_{1} \mathbf{\hat e_{1}} & h_2 \mathbf{\hat e_2} & h_{3} \mathbf{\hat e_{3}} \\[0.5em] \dfrac{\partial}{\partial e_{1}} & \dfrac{\partial }{\partial e_2} & \dfrac{\partial}{\partial e_{3}} \\[1em] h_{1}A_{1} & h_2A_2 & h_{3}A_{3} \end{vmatrix} $$
$$ \begin{align*} & \nabla \cdot (\nabla f) \\ =&\ \nabla ^2 f \\ =&\ \frac{1}{h_{1}h_2h_{3}} \left[ \frac{\partial }{\partial e_{1}} \left( \frac{h_2h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial f}{\partial e_{1}} \right) +\frac{\partial }{\partial e_2} \left( \frac{h_{1}h_{3}}{h_2} \frac{\partial f}{\partial e_2} \right) + \frac{\partial }{\partial e_{3}} \left( \frac{h_{1}h_2}{h_{3}} \frac{\partial f}{\partial e_{3}} \right) \right] \end{align*} $$
このとき、各座標系ごとの単位ベクトル、スケールファクターは以下の通りである。
直交座標系:
$$ \mathbf{\hat{e_{1}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{x}}},\quad\mathbf{\hat{e_{2}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{y}}},\quad\mathbf{\hat{e_{3}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{z}}},\quad h_{1}=1,\quad h_{2}=1,\quad h_{3}=1 $$
円筒座標系:
$$ \mathbf{\hat{e_{1}}}=\boldsymbol{\hat \rho},\quad\mathbf{\hat{e_{2}}}=\boldsymbol{\hat \phi},\quad\mathbf{\hat{e_{3}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{z}}},\quad h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1 $$
球座標系
$$ \mathbf{\hat{e_{1}}}=\mathbf{\hat r},\quad\mathbf{\hat{e_{2}}}=\boldsymbol{\hat \theta},\quad\mathbf{\hat{e_{3}}}=\boldsymbol{\hat \phi},\quad h_{1}=1,\quad h_{2}=r,\quad h_{3}=r\sin\theta $$
直交座標系
- 勾配
$$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{\mathbf{x}} }+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{\mathbf{y}}} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$
- 発散
$$ \nabla \cdot \mathbf A=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z} $$
- 回転
$$ \begin{align*} \nabla \times \mathbf A&=\left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z} \right) \mathbf{\hat{\mathbf{x}}}+\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x} \right) \mathbf{\hat{\mathbf{y}}}+\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y} \right) \mathbf{\hat{\mathbf{z}}} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{\mathbf{x}}} & \mathbf{\hat{\mathbf{y}}} & \mathbf{\hat{\mathbf{z}}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{vmatrix} \end{align*} $$
- ラプラシアン
$$ \begin{align*} \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla ^2 f &= \left( \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{\hat{\mathbf{x}}}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{\hat{\mathbf{y}}}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} \right) \cdot \left( \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{\mathbf{x}}}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{\mathbf{y}}}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} \right) \\ &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{align*} $$
円筒座標系
- 勾配
$$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$
- 発散
$$ \nabla \cdot \mathbf A=\frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho A_\rho)}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z} $$
- 回転
$$ \begin{align*} \nabla \times \mathbf A&=\left[\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \phi}-\frac{\partial A_\phi}{\partial z} \right] \boldsymbol{\hat \rho}+\left[\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho} \right] \boldsymbol{\hat \phi}+\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial (\rho A_\phi)}{\partial \rho}-\frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \right] \mathrm{\hat{\mathbf{z}}} \\ &= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat \rho} & \rho\boldsymbol{ \hat \phi} & \mathbf{\hat{\mathbf{z}}} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial }{\partial \phi} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_\rho & \rho A_\phi & A_{z} \end{vmatrix} \end{align*} $$
- ラプラシアン
$$ \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla ^2 f = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left( \rho \frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} $$
球座標系
- 勾配
$$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{\hat{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{\theta}}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} $$
- 発散
$$ \nabla \cdot \mathbf A=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 A_{r})}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (\sin\theta A_\theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} $$
- 回転
$$ \begin{align*} \nabla \times \mathbf A &=\frac{1}{r\sin\theta} \left[\frac{\partial (\sin\theta A_\phi)}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right]\mathbf{\hat{\mathbf{r}}}+\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial A_{r}}{\partial \phi}-\frac{\partial (rA_\phi)}{\partial r} \right] \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{\theta}}} \\ & \quad+ \frac{1}{r} \left[\frac{\partial (rA_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial A_{r}}{\partial \theta} \right]\boldsymbol{\hat \phi} \\ &= \frac{1}{r^2\sin\theta}\begin{vmatrix} \mathbf{\hat{\mathbf{r}}} & r\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{\theta}}} & r\sin\theta\boldsymbol{\hat \phi} \\ \dfrac{\partial}{\partial r} & \dfrac{\partial }{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial \phi} \\ A_{r} & r A_\theta & r\sin\theta A_\phi \end{vmatrix} \end{align*} $$
- ラプラシアン
$$ \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi} $$