📂流体力学

松野・ギルモデル

モデル^{1 2 3}

赤道^equator付近の海洋を仮定する。地表面からの平均高さが$H$である非圧縮性の流体の層を想定しよう。その高さからの変位を$\eta$とし、東西流と南北流をそれぞれ$u$と$v$とするとき、流速の支配方程式は次のように近似できる。 $$ \begin{align*} {\frac{ \partial h }{ \partial t }} + H \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) =& 0 \\ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial u }{ \partial y }} - \beta y v =& -g {\frac{ \partial h }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial v }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial v }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + \beta y u =& -g {\frac{ \partial h }{ \partial y }} \end{align*} $$ ここで$g$は重力加速度であり、$\beta$はロスビー・パラメータ^{Rossby parameter}と呼ばれる定数である。

説明¹

浅水方程式において、コリオリ周波数$f$は緯度$\theta$に対して$f = 2 \Omega \sin \theta$のように表せる。$y$は天体の半径$R$と十分に小さい緯度$\theta$に対して $$ y = R \sin \theta \approx R \theta $$ のように表せるが、要は$\theta$が$y$に対して線形化できるということである。一方、$\sin \theta$は正弦関数のテイラー展開により、ある$f_{0}$と$\beta$に対して次のような近似が可能である。 $$ f \approx f_{0} + \beta y $$

ここで改めて押さえておくべきことは、緯度$\theta$が小さいということ、言い換えれば赤道付近を仮定しているということである。このような近似は$\beta$平面近似^{$\beta$-plane approximation}とも呼ばれる。正確に赤道線上ではコリオリ力が$0$であるため、理論的には$f_{0} = 0$となり、きれいに$f = \beta y$と整理される。