デカルト座標系の単位ベクトルを球面座標系の単位ベクトルに表示する
公式
直交座標系の単位ベクトルを球座標系の単位ベクトルに表す式は下記の通りだ。 $$ \begin{align*} \hat{ \mathbf{x} }&= \cos \phi \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \phi \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } - \sin\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ \hat{ \mathbf{y} } &= \sin\phi\sin\theta \hat{ \mathbf{r} } + \sin\phi\cos\theta\hat{ \boldsymbol{\theta} } + \cos\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ \hat{ \mathbf{z} } &= \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } - \sin\theta\hat{ \boldsymbol{\theta} } \end{align*} $$
球座標系の単位ベクトルを直交座標系の単位ベクトルに表すと以下のようになる。(球座標系と直交座標系の関係)
$$ \begin{align*} \hat{ \mathbf{r} } &= \cos\phi \sin\theta \hat{ \mathbf{x} } + \sin\phi \sin\theta\hat{ \mathbf{y} } + \cos\theta\hat{ \mathbf{z} } \\ \hat{ \boldsymbol{\theta} } &= \cos\phi \cos\theta \hat{ \mathbf{x} } + \sin\phi \cos\theta\hat{ \mathbf{y} } - \sin\theta\hat{ \mathbf{z} } \\ \hat{ \boldsymbol{\phi} } &= -\sin\phi \hat{ \mathbf{x} } + \cos\phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*} $$
導出
単位ベクトル $\hat{\mathbf{x}}$
$\hat{ \mathbf{x} }$を求めるためには、$\hat{ \mathbf{r} } ,\ \hat{ \boldsymbol{\theta} } ,\ \hat{ \boldsymbol{\phi} }$に適当な数をかけた上で足すと$\hat{ \mathbf{y} } ,\ \hat{ \mathbf{z} }$項が消えるようにする必要がある。よく見ると、$\hat{ \mathbf{r} }$に$\sin \theta$をかけて、$\hat{ \boldsymbol{\theta} }$に$\cos \theta$をかけて足すと、$\hat{ \mathbf{z} }$項が消えることがわかる。
$$ \begin{align*} & \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } \\ &= (\cos \phi \sin^2 \theta + \cos \phi \cos^2\theta)\hat{ \mathbf{x} } + (\sin \phi \sin^2 \theta + \sin \phi \cos^2 \theta)\hat{ \mathbf{y} } \\ &= \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } +\sin \phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*} $$
さらにこの結果に$\cos \phi$をかけて、$\hat{ \boldsymbol{\phi} }$に$-\sin \phi$をかけて足すと、綺麗に$\hat{ \mathbf{x} }$が求められる。
$$ \begin{align*} & \cos \phi (\sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} })-\sin \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ &= (\cos^2\phi \hat{ \mathbf{x} } + \cos \phi \sin \phi \hat{ \mathbf{y} } ) + (\sin^2\phi \hat{ \mathbf{x} } -\sin \phi \cos \phi \hat{ \mathbf{y} } ) \\ &= \hat{ \mathbf{x} } \end{align*} $$
したがって、整理すると以下の通りだ。
$$ \hat{ \mathbf{x} } = \cos \phi \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \phi \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } - \sin\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} } $$
単位ベクトル $\hat{\mathbf{y}}$
方法は$\hat{ \mathbf{x} }$の場合と同じなので、説明抜きで数式だけを記す。$\hat{ \mathbf{z} }$項を排除する部分は$\hat{ \mathbf{x} }$の場合と同じだ。
$$ \begin{align*} &&\sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } &= \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin \phi \hat{ \mathbf{y} } \\ \implies&& \sin\phi (\sin\theta\hat{ \mathbf{r} }+\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } ) &= \sin \phi \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin^2\phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*} $$
そして
$$ \cos \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} }=-\sin\phi\cos\phi\hat{ \mathbf{x} }+\cos^2\phi\hat{ \mathbf{y} } $$
従って、以下の通りだ。
$$ \begin{align*} && \sin\phi (\sin\theta\hat{ \mathbf{r} }+\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } )+\cos \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} } &= (\cos^2\phi + \sin^2\phi )\hat{ \mathbf{y} } \\ && &= \hat{ \mathbf{y} } \end{align*} $$
$$ \therefore \hat{ \mathbf{y} } = \sin\phi\sin\theta \hat{ \mathbf{r} } + \sin\phi\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } + \cos\phi \hat{ \boldsymbol{\phi} } $$
単位ベクトル $\hat{\mathbf{z}}$
$\hat{ \mathbf{z} }$項が残るように、$\hat{ \mathbf{r} }$に$\cos\theta$をかけて、$\hat{ \boldsymbol{\theta} }$に$-\sin\theta$をかけて足すと、以下のようになる。
$$ \begin{align*} \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } -\sin\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } &=\cos\theta (\cos \phi \sin \theta \hat{\mathbf{x}}+\sin \phi \sin \theta \hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}}) \\ &\quad -\sin \theta (\cos \phi \cos \theta \hat{\mathbf{x}} + \sin \phi \cos \theta \hat{\mathbf{y}} -\sin \theta \hat{\mathbf{z}}) \\ &= (\sin\theta\cos\theta\cos\phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin\theta\cos\theta\sin\phi \hat{ \mathbf{y} }+ \cos^2\theta \hat{ \mathbf{z} }) \\ &\quad +(-\sin\theta\cos\theta\cos\phi \hat{ \mathbf{x} }-\sin\theta\cos\theta\sin\phi \hat{ \mathbf{y} } + \sin^2{\theta} \hat{ \mathbf{z} }) \\ &= (\cos^2\theta + \sin ^2 \theta ) \hat{ \mathbf{z} } \\ &= \hat{ \mathbf{z} } \end{align*} $$
$$ \therefore \hat{ \mathbf{z} } = \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } - \sin\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } $$