📂力学系

バウティン分岐

定義¹

二つのパラメータに対して、ホップ分岐のリミットサイクルがリミットサイクルとしての分岐としてピッチフォーク分岐を示す分岐をバウティン分岐^{Bautin bifurcation}という。その標準形は次の通りである。 $$ \begin{align*} \dot{\rho} =& \rho \left( \beta_{1} + \beta_{2} \rho^{2} - \rho^{4} \right) \\ \dot{\phi} =& 1 \end{align*} $$ ここで$z = \rho e^{i \phi}$は極座標表記で表した複素数である。

説明

次のような分岐図において$\beta_{1} = \beta_{2} = 0$である点をバウティン点^{Bautin point}という。

• ①: 安定な固定点を一つだけ持つ。
• ① → ②: $H_{-}$を通過する際に①で固定点の安定性が反転し、一つの安定なサイクルが生じる。言い換えれば、超臨界ホップ分岐が起こる。
• ②: 安定なサイクルを一つだけ持つ。
• ② → ③: $H_{+}$を通過する際に②で不安定なサイクルが生まれ、既存の不安定な固定点は安定性を持つようになる。言い換えれば、サイクルとしてのピッチフォーク分岐が起こったのである。
• ③: 二つのサイクルが存在する。

バウティン分岐は複数のサイクルに光を当てるという点で一般化ホップ分岐^{generalized Hopf bifurcation}とも呼ばれる。