📂流体力学

浅水方程式の導出

モデル¹

地表面からの平均高さが$H$である非圧縮性の流体の層を想定する。その高さからの変位を$\eta$とし、東西流と南北流をそれぞれ$u$と$v$とするとき、流速の支配方程式は次のように表される。 $$ \begin{align*} {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + H \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) =& 0 \\ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial u }{ \partial y }} - f v =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial v }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial v }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + f u =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} \end{align*} $$ ここで$f$はコリオリ周波数、$g$は重力加速度である。

説明

浅水方程式は、文字通り非常に深い$H$の代わりに浅い$\eta$を用い、流体が非圧縮性であるという前提から水を反映し、コリオリ力を反映する点で、特に海洋モデルに適していることが推察できる。

導出

数学的に厳密ではなく、おおよそどのように現れるかを把握する程度のものと考えよう。

Part 1. 圧力

ナビエ・ストークスタイプの方程式に現れる右辺をまず考える。圧力は高さ$z$の地点において次のようになる。 $$ p = \rho g \left( H + \eta - z \right) $$ $\rho$、$g$、$H$をすべて定数と仮定すれば、その偏微分は簡単に計算できる。 $$ \begin{align*} {\frac{ \partial p }{ \partial x }} =& \rho g {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial y }} =& \rho g {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} \end{align*} $$

Part 2. 非圧縮性

$x, y, z$方向への速度を$u, v, w$とする。非圧縮性という前提$\nabla \cdot ( u, v, w) = 0$から、次のような連続方程式より始める。 $$ \nabla \cdot ( u, v, w ) = {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + {\frac{ \partial w }{ \partial z }} = 0 $$ これを$z = 0$から$z = H + \eta$まで積分すれば、微積分学の基本定理により次を得る。 $$ \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + w (\eta) - w (0) = 0 $$ 底面における$z$方向の流速は$0$なので$w (0) = 0$であり、$w (\eta)$は$\eta$の物質微分$D_{t} \eta$に等しいので、そのまま代入しよう。 $$ \begin{align*} & \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + D_{t} \eta - 0 = 0 \\ \implies & \left( H + \eta \right) \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) + {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} = 0 \end{align*} $$ ここに積の微分法$\left( p q \right) ' = p ' q + p q '$を逆向きに適用すれば、きれいに整理できる。 $$ {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + {\frac{ \partial }{ \partial x }} \left[ u \left( H + \eta \right) \right] + {\frac{ \partial }{ \partial y }} \left[ v \left( H + \eta \right) \right] = 0 $$ ここで$u \eta$と$v \eta$は、水深$H$が掛けられた$Hu$や$Hv$に比べれば極めて小さい値になるので無視できる。

Part 3. カップリング

圧力に対する偏微分が$\eta$に対する偏微分に置き換えられたナビエ・ストークス方程式は次の通りである。 $$ \begin{align*} {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial u }{ \partial y }} - f v =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial v }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial v }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + f u =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} \end{align*} $$ 一方、$\eta$を流速について表す偏微分方程式は次の通りである。 $$ {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + H \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) = 0 $$ これらをカップリングすれば、結果として浅水方程式となる。

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