📂流体力学

回転する球体上の流体層に対する近似方程式

モデル¹

一日に一回転し、角速度が$\Omega = 2 \pi \text{rad / day}$である球体、たとえば天体を取り囲む流体の層において、$x$は目から画面へ向かう方向(into the plane of the screen)、$y$は北極へ向かう方向、$z$は球体の中心から遠ざかる方向である。北極での角速度を$\boldsymbol{\Omega} = \left( \Omega_{x} , \Omega_{y} , \Omega_{z} \right)$、そして緯度^latitude$\theta$での流速を$(u, v, w)$としよう。通常、$u$を東向き^eastward、$v$を北向き^northward、$w$を上向き^upwardの速度という。流速の支配方程式は、ナビエ・ストークス方程式のタイプで表すと次のようになる。 $$ \begin{align*} {\frac{ D u }{ D t }} =& - {\frac{1}{\rho_{0}}} {\frac{ \partial P }{ \partial x }} + \nu_{\mathsf{h}} \left( {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial y^{2} }} \right) + \nu_{\mathsf{v}} {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial z^{2} }} + fv \\ {\frac{ D v }{ D t }} =& - {\frac{1}{\rho_{0}}} {\frac{ \partial P }{ \partial y }} + \nu_{\mathsf{h}} \left( {\frac{ \partial^{2} v }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{2} v }{ \partial y^{2} }} \right) + \nu_{\mathsf{v}} {\frac{ \partial^{2} v }{ \partial z^{2} }} - fu \\ {\frac{ D w }{ D t }} =& - {\frac{1}{\rho_{0}}} {\frac{ \partial P }{ \partial z }} + \nu_{\mathsf{h}} \left( {\frac{ \partial^{2} w }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{2} w }{ \partial y^{2} }} \right) + \nu_{\mathsf{v}} {\frac{ \partial^{2} w }{ \partial z^{2} }} - {\frac{ g \rho }{ \rho_{0} }} \end{align*} $$ ここで$f := 2 \Omega \sin \theta$を惑星渦度^{planetary vorticity}あるいはコリオリ周波数^{Coriolis frequency}という。$\nu_{\mathsf{h}}$と$\nu_{\mathsf{v}}$はそれぞれ水平^horizontalと垂直^verticalに作用する渦係数であり、$\rho$と$\rho_{0}$はそれぞれ密度と基準密度^{reference density}である。$P$は圧力であり、$g$は重力加速度である。

説明

$$ \begin{align*} \Omega_{x} =& 0 \\ \Omega_{y} =& \Omega \cos \theta \\ \Omega_{z} =& \Omega \sin \theta \end{align*} $$ まず、緯度$\theta$での$\Omega$は上のとおりであり、$w \ll v$という仮定の下で、コリオリ力は$\Omega$と流速の外積の二倍として次のように近似できる。 $$ 2 \boldsymbol{\Omega} \times \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \left( 2 \Omega \sin \theta \right) v \\ \left( 2 \Omega \sin \theta \right) u \\ - \left( 2 \Omega \cos \theta \right) u \end{bmatrix} $$ ここで$z$軸成分である$- \left( 2 \Omega \cos \theta \right) u$は、重力と圧力に比べればほとんど無視できる水準であるという仮定の下で$0$として扱い、その力をナビエ・ストークス方程式の左辺に加えて近似方程式を得る。