📂流体力学

レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式と渦粘性

モデル

$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 特に、3次元空間において時刻$t$と空間座標$\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$の流速場を上のような速度ベクトルで表すとしよう。同様に、$p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$は各座標に加わる圧力$p = p \left( \mathbf{x} \right)$を表す。ここで$u_{k}$と$p$は乱流を正確に反映するのが難しいため、次のように平均成分と変動成分に分けて考えることにし、これをレイノルズ分解^{Reynolds decomposition}という。 $$ \begin{align*} u_{k} =& \bar{u}_{k} + u_{k}^{\prime} \\ p =& \bar{p} + p^{\prime} \end{align*} $$ ナビエ・ストークス方程式にレイノルズ分解を適用して得られる方程式をレイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式^{RANS, Reynolds-averaged Navier–Stokes equations}という。クロネッカーのデルタ$\delta_{ij}$とアインシュタインの記法で表すと次のようになる。 $$ {\frac{\partial \bar{u}}{\partial t}} + \rho \bar{u}_{j} {\frac{ \partial \bar{u}_{i} }{ \partial x_{j} }} = - {\frac{ \partial \bar{p} }{ \partial x_{i} }} \delta_{ij} + \mu {\frac{ \partial^{2} \bar{u}_{i} }{ \partial x_{j}^{2} }} - \rho {\frac{ \partial }{ \partial x_{j} }} \left( \overline{ u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} } \right) $$ ここで最後の項をレイノルズ応力^{Reynolds stress}項という。

説明

RANS方程式は乱流を記述するために平均化された方程式であり、ナビエ・ストークス方程式における流速の時間平均に対する支配方程式となる。問題は、ただでさえ複雑なナビエ・ストークス方程式が、レイノルズ応力項というこぶを抱えてさらに複雑になったということである。

渦粘性

$$ - \rho \left( \overline{ u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} } \right) = \mu \left( {\frac{ \partial \bar{u}_{i} }{ \partial x_{j} }} + {\frac{ \partial \bar{u}_{j} }{ \partial x_{i} }} \right) = \mu \nabla \bar{u} $$ これを少しでも単純化するために追加される仮定として、レイノルズ応力が平均流速の勾配に比例するとおくことを渦粘性仮定^{eddy viscosity assumption}という。このときの比例定数$\mu$を渦粘性係数^{eddy viscosity coefficient}という。ちなみにエディ(eddy)は渦、つむじ風を意味する単語であり、固有名詞ではない。

導出¹

$\mathbf{u}$は十分に微分可能であり、微分や積分の順序は自由に入れ替えられると仮定しよう。 $$ \bar{u} = \lim_{T \to \infty} {\frac{ 1 }{ T }} \int_{0}^{T} u dt $$ まず平均は時間に関する定積分として上のように定義され、変動成分の平均は当然$\bar{u^{\prime}} = 0$と$\bar{p^{\prime}} = 0$を満たさなければならない。このように平均を取ることを一種の作用素とみなすとき、これをレイノルズ作用素^{Reynolds operator}といい、積分の線形性により次が成り立つ。 $$ \begin{align*} \bar{\bar{u}} &= \bar{u} \\ \overline{u + v} &= \bar{u} + \bar{v} \\ \overline{\bar{u} v} &= \bar{u} \bar{v} \\ \overline{\frac{\partial u}{\partial x}} &= \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} \end{align*} $$

ナビエ・ストークス方程式は非圧縮性を仮定するので$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$であり、アインシュタインの記法で表すと次を得る。 $$ {\frac{ \partial u_{i} }{ \partial x_{i} }} = 0 \implies {\frac{ \partial \bar{u}_{i} }{ \partial x_{i} }} = 0 \implies {\frac{ \partial u_{i}^{\prime} }{ \partial x_{i} }} = 0 $$

ナビエ・ストークス方程式: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} $$

ナビエ・ストークス方程式のうち一行をアインシュタインの記法で書いてみよう。 $$ \frac{\partial u_{i}}{\partial t} + u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \nu \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j}^{2}} $$ これから各項にレイノルズ分解を適用し、平均を取る過程を繰り返していく。左辺の第1項を例に見ると理解しやすい。 $$ \begin{align*} \overline{\frac{\partial u_{i}}{\partial t}} =& \overline{\frac{\partial \bar{u}_{i} + u_{i}^{\prime}}{\partial t}} \\ =& \overline{\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t}} + \overline{\frac{\partial u_{i}^{\prime}}{\partial t}} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{u_{i}^{\prime}}}{\partial t} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} + \frac{\partial 0}{\partial t} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} \end{align*} $$ ここからはこれほど詳しくはしないが、それでもできる限り細かく繰り返すつもりである。要点は、増えていく項が$0$に変わったり掛け合わされたりすることに注目することである。左辺の第2項は非線形項であるが、連鎖法則を使ったトリックを用いる。 $$ \begin{align*} & \overline{u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}} \\ =& \overline{\frac{\partial u_{j} u_{i}}{\partial x_{j}}} - \overline{{\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}} u_{i}}} \\ =& \overline{\frac{\partial \left( \bar{u}_{j} \bar{u}_{i} + \bar{u}_{j} u_{i}^{\prime} + u_{j}^{\prime} \bar{u}_{i} + u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} \right)}{\partial x_{j}}} - \overline{{0 \cdot u_{i}}} \\ =& \overline{\frac{\partial \bar{u}_{j} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}}} + \overline{\frac{\partial \left( \bar{u}_{j} u_{i}^{\prime} + u_{j}^{\prime} \bar{u}_{i} \right)}{\partial x_{j}}} + \overline{\frac{\partial u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} }{\partial x_{j}}} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{j} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \left( \bar{u}_{j} \bar{u}_{i}^{\prime} + \bar{u}_{j}^{\prime} \bar{u}_{i} \right)}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \overline{u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} } }{\partial x_{j}} \\ =& \bar{u}_{j} \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \overline{u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} } }{\partial x_{j}} \end{align*} $$ 右辺の第1項はクロネッカーのデルタが付くこと以外はそのまま流してよい。第2項は便宜上$\nu$を外して見てみよう。 $$ \begin{align*} & \overline{\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j}^{2}}} \\ =& \overline{\frac{\partial^{2} \left( \bar{u}_{i} + u_{i}^{\prime} \right)}{\partial x_{j}^{2}}} \\ =& \overline{\frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}}} + \overline{\frac{\partial^{2} u_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}^{2}}} \\ =& \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} + \frac{\partial^{2} \bar{u_{i}^{\prime}}}{\partial x_{j}^{2}} \\ =& \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} + \frac{\partial^{2} 0}{\partial x_{j}^{2}} \\ =& \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} \end{align*} $$ これまでの結果をすべて代入しよう。 $$ \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} + \bar{u}_{j} \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \overline{u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} } }{\partial x_{j}} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_{i}} \delta_{ij} + \nu \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} $$ 現在左辺の最後に位置するレイノルズ応力項を移項すれば、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式が得られる。

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