📂力学系

ミカエリス・メンテンモデル

モデル¹

酵素^enzymeと基質^substrate$x$の間の反応を表す次の支配方程式をミカエリス・メンテンモデル^{Michaelis–Menten model}という。 $$ \dot{x} = j_{x} - {\frac{V_{\max} x}{K_{m} + x}} $$

パラメータ

• $j_{x}$: 基質$x$の流入速度^{influx rate}である。
• $V_{\max}$: 酵素の最大反応速度^{maximum reaction rate}である。
• $K_{m}$: ミカエリス・メンテン定数と呼ばれる、酵素の親和性^affinityを表す定数である。

説明

ミカエリス・メンテンモデルは酵素反応速度論^{enzyme kinetics}を記述する最も基本的な力学系を記述している。

• 生物学的な意味を勉強したことはないが、数式を見るだけでも$x$が少ないときは速く反応が起こり、$x$が多くなると飽和して遅くなるという意味であろうことは容易に推測できる。
• 動力学的な研究では、$1$次元であるにもかかわらず分数項を含み強い非線形性を持つため、様々なベンチマークに使われ、意外とよく目にする²。

導出

直観的な意味よりも、右辺がどうして分数の形になるのかが気になったので調べてみた。 $$ E + S \overset{k_{1}}{\underset{k_{-1}}{\rightleftharpoons}} ES \overset{k_{2}}{\longrightarrow} E + P $$ 酵素$[E]$と基質$[S]$が結合して酵素・基質複合体$[ES]$を形成し、再び酵素と生成物$[P]$に分解される反応を上のように仮定しよう。質量作用の法則に従い、これらの濃度を最も簡単な微分方程式で表すと次のようになる。 $$ {\frac{ d[ES] }{ dt }} = k_1 [E][S] - k_{-1}[ES] - k_2 [ES] $$ このシステムの固定点$d[ES]/dt = 0$において$[ES]$について整理すると、$K_{M} := (k_{-1} + k_2) / k_1$という定数を用いて次のように簡単に表せる。 $$ [ES] = \frac{[E][S]}{K_{M}} $$ 初期の酵素濃度$[E]_{0}$は、酵素が基質と結合して複合体を形成しても変わらないので、$[E]_{0} = [E] + [ES]$とおくことができる。我々は$[E]$ではなく基質$[S]$に関心があるので、$[E]$を消去する方向で数式を扱う。 $$ \begin{align*} K_{m} [ES] = & [E] [S] \\ \implies K_{m} [ES] =& ([E]_{0} - [ES]) [S] \\ \implies \left( K_{m} + [S] \right) [ES] =& [E]_{0} [S] \\ \implies [ES] =& \frac{[E]_{0} [S]}{K_{m} + [S]} \end{align*} $$ 反応$ES \to P$、すなわち$k_{2} [ES]$が反応速度なので、両辺に$k_{2}$を掛けると、$V_{\max} := k_{2} [E]_{0}$について次を得る。 $$ k_{2} [ES] = \frac{k_{2} [E]_{0} [S]}{K_{m} + [S]} = \frac{V_{\max} [S]}{K_{m} + [S]} $$ 最後に左辺を$\dot{x}$に、右辺の$[S]$を$x$に置き換えればよい。

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