📂流体力学

ブシネスク近似

モデル¹²

ナビエ・ストークス方程式に熱方程式を導入し、流体の熱伝達と密度の変化に伴う浮力^buoyancyを反映させることをブシネスク近似^{Boussinesq approximation}という。 $$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 特に、3次元空間において時刻$t$と空間座標$\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$の流速場を上のような速度ベクトルで表すとしよう。同様に、$p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$は各座標に加わる圧力$p = p \left( \mathbf{x} \right)$を表す。

流体は非圧縮性であるため$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$であり、密度$\rho$は定数である基準密度$\rho_{0}$、基準温度$\theta_{0}$、そして温度$\theta : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$に対して次のような線形関数で表されると仮定する。 $$ \rho = \rho_{0} \left( 1 - \beta \left( \theta - \theta_{0} \right) \right) $$ ここで$\beta$は定数と仮定する熱膨張係数である。重力加速度$\mathbf{g} = \left( 0 , 0 , g \right)$に対して、支配方程式は次のとおりである。 $$ \begin{align*} {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} \nabla p + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + {\frac{ \rho }{ \rho_{0} }} \mathbf{g} \\ {\frac{ D \theta }{ D t }} =& \alpha \nabla^{2} \theta \end{align*} $$ ここで$\nabla \cdot$は発散、$\nu = \mu / \rho$は動粘性係数$\mu$と密度$\rho$の比、$\alpha$は熱拡散率である。

説明

$$ {\frac{ D }{ D t }} = {\frac{ \partial }{ \partial t }} + {\frac{ \partial }{ \partial x_{1} }} + {\frac{ \partial }{ \partial x_{2} }} + {\frac{ \partial }{ \partial x_{3} }} $$ 物質微分$D$は$\theta$を除いて3つの次元について上のように定義される。支配方程式を$u = u_{1}$、$v = u_{2}$、$w = u_{3}$、そして$x = x_{1}$、$y = x_{2}$、$z = x_{3}$とおいて表すと次のようになる。

$$ \begin{align*} {\frac{\partial u}{\partial t}} + u {\frac{\partial u}{\partial x}} + v {\frac{\partial u}{\partial y}} + w {\frac{\partial u}{\partial z}} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} {\frac{\partial p}{\partial x}} + \nu \nabla^{2} u \\ {\frac{\partial v}{\partial t}} + u {\frac{\partial v}{\partial x}} + v {\frac{\partial v}{\partial y}} + w {\frac{\partial v}{\partial z}} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} {\frac{\partial p}{\partial y}} + \nu \nabla^{2} v \\ {\frac{\partial w}{\partial t}} + u {\frac{\partial w}{\partial x}} + v {\frac{\partial w}{\partial y}} + w {\frac{\partial w}{\partial z}} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} {\frac{\partial p}{\partial z}} + \nu \nabla^{2} w - {\frac{ \rho g }{ \rho_{0} }} \\ {\frac{\partial \theta}{\partial t}} + u {\frac{\partial \theta}{\partial x}} + v {\frac{\partial \theta}{\partial y}} + w {\frac{\partial \theta}{\partial z}} =& \alpha \nabla^{2} \theta \\ \rho =& \rho_{0} \left( 1 - \beta \left( \theta - \theta_{0} \right) \right) \end{align*} $$

式を見ると、$z$軸にのみ密度と重力の影響を受ける浮力項${ \rho g } / { \rho_{0} }$が付いていることが確認できる。流体は$(u, v, w)$に従って動き、この流速に従って熱に関する$\theta$を輸送し、そうして変化した温度が密度を変えて$w$に影響を与え、これが結果的に$(u, v, w)$に影響を与えるという構造になっている。