📂力学系

フィッツヒュー・ナグモモデル

モデル¹

ファスト・スロー系としてのホジキン・ハクスリーモデルから本質的な要素だけを取り出し、ファスト変数$v$とスロー変数$w$に関する2次元微分方程式に単純化したモデルをフィッツヒュー・ナグモモデル^{FitzHugh–Nagumo model}という。 $$ \begin{align*} \epsilon \dot{v} =& v ( 1 - v ) (v - \alpha) - w + I_{\text{app}} \\ \dot{w} =& v - \gamma w \end{align*} $$ 典型的なパラメータ設定は$\alpha = 0.1$、$\gamma = 0.5$、$\epsilon = 0.01$であるという。

説明²

ホジキン・ハクスリーモデル: $$ \begin{align*} C_{m} \dot{V} =& - \bar{g}_{\text{Na}} m^{3} h \left( V - V_{\text{Na}} \right) - \bar{g}_{\text{K}} n^{4} \left( V - V_{\text{K}} \right) - \bar{g}_{\text{L}} \left( V - V_{\text{L}} \right) + I_{\text{app}} \\ \dot{m} =& \alpha_{m} (1 - m) - \beta_{m} m \\ \dot{n} =& \alpha_{n} (1 - n) - \beta_{n} n \\ \dot{h} =& \alpha_{h} (1 - h) - \beta_{h} h \end{align*} $$

ホジキン・ハクスリーモデルにおいて、$m$をある定数$m_{0}$とおき、$h + n \approx 0.8$という関係から$h = 0.8 - n$とおくと、次のように単純化される。 $$ \begin{align*} - C_{m} \dot{V} =& \bar{g}_{\text{Na}} m_{0}^{3} (0.8 - n) \left( V - V_{\text{Na}} \right) + \bar{g}_{\text{K}} n^{4} \left( V - V_{\text{K}} \right) + \bar{g}_{\text{L}} \left( V - V_{\text{L}} \right) - I_{\text{app}} \\ \dot{n} =& \alpha_{n} (1 - n) - \beta_{n} n \end{align*} $$

このとき$I_{\text{app}} = 50$の電流を印加し、位相平面と$V$の時間発展を見ると、$V$が急激に変化する、典型的なファスト・スロー系のダイナミクスを示していることが確認できる。一方、これとまったく同じ項を持つわけではないが、フィッツヒュー・ナグモモデルの位相平面と$v$の時間発展を見ると次のようになる。

これは、フィッツヒュー・ナグモモデルがホジキン・ハクスリーモデルに由来して簡略化されたものでありながら、その本質的なダイナミクスをよく保持していることを示している。