📂力学系

アトラクターを比較するための指標：偏差値

定義¹

ある期間における二つのアトラクター$A$、$\widehat{A}$が与えられたとき、偏差値^{deviation value}$DV$は次のように定義される。 $$ DV = \sum_{i,j} \left| f_{ij} - \hat{f}_{ij} \right| $$ ここで$f_{ij}$と$\hat{f}_{ij}$は、それぞれ$A$と$\widehat{A}$が$(i,j)$番目のセル^cellにあった相対度数^{relative frequency}を意味する。

説明

セルとは、簡単に言えば$A$が存在する二つの軸を選んで平面に表し、それをグリッドで分割した格子のことである。

根本的に$DV$は平均絶対誤差^MAEである。アトラクターは、特にカオス的な場合はなおさらだが、周期的であっても特定の時点で同じ地点を通過するとは言えない。そこで$DV$は、その瞬間瞬間ではなく、長期的に見て同じダイナミクスを示すかどうかを評価する指標であると言える。

上の図を見ると、水色で示された実際のアトラクターと橙色で示された予測アトラクターがあり、これらの乖離が大きくなるほど$DV$も高くなることが確認できる。