無限ポテンシャル井戸における波動関数固有関数とエネルギー固有値の求め方
📂量子力学 無限ポテンシャル井戸における波動関数固有関数とエネルギー固有値の求め方 命題 ポテンシャル が区間[ 0 , a ] [0, a] [ 0 , a ] 波動関数 のエネルギー（固有値 ）E n E_{n} E n 固有状態 ）ψ n \psi_{n} ψ n
E n = n 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2 ψ n ( x ) = 2 a sin ( n π a x ) n = 0 , 1 , 2 , … (0)
\begin{align*}
E_{n} &=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} \\[1em]
\psi_{n}{(x)} &= \textstyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right)
\end{align*}
\qquad\qquad n = 0, 1, 2, \dots
\tag{0}
E n ψ n ( x ) = 2 m a 2 n 2 π 2 ℏ 2 = a 2 sin ( a nπ x ) n = 0 , 1 , 2 , … ( 0 )
説明
V ( x ) = { ∞ , − ∞ < x < 0 0 , 0 < x < a ∞ , a < x < ∞
V(x) =
\begin{cases}
\infty, & -\infty \lt x \lt 0 \\
0, & 0 \lt x \lt a \\
\infty, & a \lt x \lt \infty
\end{cases}
V ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ ∞ , 0 , ∞ , − ∞ < x < 0 0 < x < a a < x < ∞
上記のような形式のポテンシャルU U U 無限ポテンシャル井戸 infinite potential well とと呼ばれる。このシステムは、粒子が特定の区間を絶対に抜け出ることができない状況を描写するモデルであり、箱の中の粒子モデルparticle in a box model とも呼ばれる。非常に単純なモデルだが、古典力学における結果と大きく異なる重要な例を示している。古典力学では粒子が発見される位置は区間内で全て等しいが、量子力学では位置に応じて粒子が発見される確率が異なる。
波動関数の中でエネルギー準位(= n =n = n 基底状態 ground state という。基底状態ではない状態を励起状態 excited state という。
ground state: ψ 1 ( x ) = 2 a sin ( π a x ) first excited state: ψ 2 ( x ) = 2 a sin ( 2 π a x ) second excited state: ψ 3 ( x ) = 2 a sin ( 3 π a x ) ⋮
\begin{align*}
\text{ground state: } & \textstyle \psi_{1}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \frac{\pi}{a}x \right) \\[1em]
\text{first excited state: } & \textstyle \psi_2(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \frac{2\pi}{a}x \right) \\[1em]
\text{second excited state: } & \textstyle \psi_{3}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \frac{3\pi}{a}x \right) \\
\vdots
\end{align*}
ground state: first excited state: second excited state: ⋮ ψ 1 ( x ) = a 2 sin ( a π x ) ψ 2 ( x ) = a 2 sin ( a 2 π x ) ψ 3 ( x ) = a 2 sin ( a 3 π x )
波動関数は任意のエネルギーを持つことができるのではなく、式( 0 ) (0) ( 0 ) n 2 n^{2} n 2 量子化 quantization されているという。
導出 時間に無関係な一次元シュレーディンガー方程式 は次のようである。
( − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 + V ( x ) ) ψ ( x ) = E ψ ( x )
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2} }{ d x^{2} }+V(x)\right)\psi(x) = E\psi(x)
( − 2 m ℏ 2 d x 2 d 2 + V ( x ) ) ψ ( x ) = E ψ ( x )
V ( x ) = { ∞ , − ∞ < x < 0 0 , 0 < x < a ∞ , a < x < ∞
V(x) =
\begin{cases}
\infty, & -\infty \lt x \lt 0 \\
0, & 0 \lt x \lt a \\
\infty, & a \lt x \lt \infty
\end{cases}
V ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ ∞ , 0 , ∞ , − ∞ < x < 0 0 < x < a a < x < ∞
E < 0 E \lt 0 E < 0 ポテンシャルは常に0 0 0 波動関数が存在しない 。
E > 0 E \gt 0 E > 0 [1] ∣ x ∣ > a |x| \gt a ∣ x ∣ > a この区間では0 < E < V = ∞ 0 \lt E \lt V = \infty 0 < E < V = ∞ ψ ( x ) = 0 \psi(x) = 0 ψ ( x ) = 0
[2] 0 < x < a 0 \lt x \lt a 0 < x < a 区間[ 0 , a ] [0, a] [ 0 , a ] V = 0 V = 0 V = 0
d 2 ψ d x 2 + 2 m ℏ 2 E ψ = 0
\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hbar^{2}}E\psi=0
d x 2 d 2 ψ + ℏ 2 2 m E ψ = 0
E E E 2 m ℏ 2 E \dfrac{2m}{\hbar^{2}}E ℏ 2 2 m E k 2 k^{2} k 2
d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0
\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0
d x 2 d 2 ψ + k 2 ψ = 0
この微分方程式の解 は次の通りである。
ψ ( x ) = A sin k x + B cos k x
\psi(x) = A\sin kx + B\cos kx
ψ ( x ) = A sin k x + B cos k x
[3] 境界条件 波動関数ψ \psi ψ x = 0 x = 0 x = 0
0 = ψ ( 0 ) = A sin 0 + B cos 0 = B ⟹ B = 0
0 = \psi (0) = A\sin 0 + B\cos 0 = B \implies B=0
0 = ψ ( 0 ) = A sin 0 + B cos 0 = B ⟹ B = 0
境界条件はx = a x = a x = a
0 = ψ ( a ) = A sin k a ( ∵ B = 0 ) (1)
0 = \psi (a) = A\sin ka \qquad (\because B = 0) \tag{1}
0 = ψ ( a ) = A sin ka ( ∵ B = 0 ) ( 1 )
サイン 関数は整数n n n sin n π = 0 \sin n\pi = 0 sin nπ = 0 n n n ( 2 ) (2) ( 2 )
A sin k a = 0 ⟹ k a = n π ⟹ k = n π a (2)
A \sin ka = 0 \implies ka = n\pi \implies k = \frac{n\pi}{a} \tag{2}
A sin ka = 0 ⟹ ka = nπ ⟹ k = a nπ ( 2 )
⟹ ψ n ( x ) = A sin ( n π a x )
\implies \psi_{n}(x) = \textstyle A\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right)
⟹ ψ n ( x ) = A sin ( a nπ x )
波動関数は平方積分されて1 1 1 、
∫ − ∞ ∞ ψ n ∗ ψ n d x = 1 = ∫ 0 a ∣ A ∣ 2 sin 2 n π a x d x = ∣ A ∣ 2 ∫ 0 a 1 2 ( 1 − cos 2 n π a x ) d x = ∣ A ∣ 2 1 2 [ x − a 2 n π sin 2 n π a x ] 0 a = ∣ A ∣ 2 a 2
\begin{align*}
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{\ast} \psi_{n} dx = 1
&= \int_{0}^{a}\textstyle |A|^{2} \sin^{2} \frac{n\pi}{a}x dx \\
&= |A|^{2} \int_{0}^{a}\textstyle \frac{1}{2}(1-\cos \frac{2n\pi}{a}x)dx \\
&= |A|^{2}\textstyle \frac{1}{2} \left[x-\frac{a}{2n\pi}\sin \frac{2n\pi}{a}x\right]_{0}^a \\
&= |A|^{2}\textstyle \frac{a}{2}
\end{align*}
− ∞ ∫ ∞ ψ n ∗ ψ n d x = 1 = ∫ 0 a ∣ A ∣ 2 sin 2 a nπ x d x = ∣ A ∣ 2 ∫ 0 a 2 1 ( 1 − cos a 2 nπ x ) d x = ∣ A ∣ 2 2 1 [ x − 2 nπ a sin a 2 nπ x ] 0 a = ∣ A ∣ 2 2 a
⟹ ∣ A ∣ 2 = 2 a ⟹ A = 2 a (3)
\implies |A|^{2} = \frac{2}{a} \implies A = \sqrt{\frac{2}{a}} \tag{3}
⟹ ∣ A ∣ 2 = a 2 ⟹ A = a 2 ( 3 )
第三等号では半角公式 が使用された。従って波動関数は次のようである。
ψ n ( x ) = 2 a sin ( n π a x )
\psi_{n}(x)= \textstyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right)
ψ n ( x ) = a 2 sin ( a nπ x )
また、上述の通り2 m ℏ 2 E = k 2 \dfrac{2m}{\hbar^{2}}E=k^{2} ℏ 2 2 m E = k 2 固有関数 ψ n \psi_{n} ψ n 固有値 E n E_{n} E n
E n = ℏ 2 k 2 2 m = n 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2
E_{n} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} = \frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}
E n = 2 m ℏ 2 k 2 = 2 m a 2 n 2 π 2 ℏ 2
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