無限ポテンシャル井戸における波動関数固有関数とエネルギー固有値の求め方
まとめ
ポテンシャルが無限の長方形の形をしている場合、波動関数のエネルギー（固有値）は
$$ E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} \quad (n = 0, 1, 2, \dots) $$
と同じで、各エネルギーに対応する波動関数（固有状態）は以下の通りだ。
$$ \psi_{n}{(x)} = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x $$
説明
このような形のポテンシャルを無限ポテンシャル井戸infinite potential wellと言うんだ。箱の中の粒子モデルparticle in a box modelとも呼ばれる。粒子が特定の区間を絶対に逸脱できない状況を描写するモデルなんだ。非常に単純なモデルだけど、古典力学の結果とは大きく異なる様相を見せる。古典力学では粒子が見つかる位置が区間内で均一なのに対し、量子力学では位置によって粒子が見つかる確率に差がある。
証明
ポテンシャル$U$が以下のように与えられている状況を仮定しよう。
$$ -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2} \psi{(x)}}{dx^{2}}+U\psi{(x)}=E\psi{(x)},\ \ U=\begin{cases} \infty, & -\infty < x <0 \\ 0, & 0<x<a \\ \infty, & a<x<\infty \end{cases} $$
$E \lt 0$
ポテンシャルは常に$0$以上なので、エネルギーが負の時は波動関数が存在しない。
$E \gt 0$
$0 \lt x \lt a$
区間$[0, a]$でポテンシャルは$U = 0$であり、シュレディンガー方程式は以下の通りだ。
$$ \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hbar^{2}}E\psi=0 $$
$E$が正なので、$\dfrac{2m}{\hbar^{2}}E$も正である。従ってこれを$k^{2}$としよう。そうするとシュレディンガー方程式は以下の通りだ。
$$ \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0 $$
この微分方程式の解は以下の通りだ。
$$ \psi = A\sin kx + B\cos kx $$
ここで境界条件$( \mathrm{boundary \ condition})$を適用すると、$\psi{(0)}=\psi{(a)}=0 $と$ \sin$関数が境界条件を満たすが、$\cos$関数が境界条件を満たさない。従って、$\psi{(x)}=A \sin kx$境界条件で$k$を求めてみると、$\psi (a)=A \sin ka =0$であり、sin関数が$0$になる整数倍でので、$\displaystyle ka=n\pi \implies k=\frac{n\pi}{a} $と$ \psi{(x)}=A \sin \frac{n\pi}{a}x$。最後に規格化を通じて$A$を求めてみよう。粒子はどこかに存在しなければならないので全区間で確率は$1$、$\displaystyle \begin{align*} 1 &= \int_{0}^a |A|^{2} \sin^{2} \frac{n\pi}{a}x dx \\ &= |A|^{2} \int_{0}^a \frac{1}{2}(1-\cos \frac{2n\pi}{a}x)dx \\ &= |A|^{2}\frac{1}{2} \left[x-\frac{a}{2n\pi}\sin \frac{2n\pi}{a}x\right]_{0}^a \\ &= |A|^{2} \frac{a}{2} \end{align*} $、$ \implies A=\sqrt{\frac{2}{a}}$。従って無限ポテンシャル井戸での波動関数（固有関数）は$\displaystyle \psi{(x)}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x$。この時、波動関数の中でエネルギー準位（$n$）が最も低い状態を基底状態$\mathrm{Ground\ state}$と言う。基底状態ではない状態を励起状態$\mathrm{Excited\ state}$。つまり無限ポテンシャル井戸での基底状態は$\psi_{1}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{\pi}{a}x \right)$だ。最初の励起状態は$\psi_2(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{2\pi}{a}x \right)$、二番目の励起状態は$\psi_{3}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{3\pi}{a}x \right)$。そして固有値（エネルギー）を求めてみよう。$\displaystyle \frac{2m}{\hbar^{2}}E=k^{2},\ k=\frac{n\pi}{a}$なので$\displaystyle E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}$。エネルギー$E$が整数$n$によって量子化されていることがわかる。つまり、任意のエネルギーを持つことができるわけではなく、$n$に対して定められたエネルギーのみを持つことができる。また、$n^{2}$に比例することがわかる。下添字$n$を使って次のように表記する。$\displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}$