📂力学系

対称性を持つ力学系のF-サイクルとS-サイクル

定義¹

$I$を恒等行列とする。力学系 $\dot{v} = f(v)$が対称性を持つ、言い換えればある$R \ne I$に対して次の条件を満たすとする。 $$ \begin{align*} R f(v) =& f (R v) \\ R^{2} =& I \end{align*} $$

これに対して周期解とリミットサイクルについての固定と対称を次のように定義する:

1. $\dot{v} = f(v)$の周期解$v (t)$がすべての$t$に対して$R x (t) = x (t)$であれば固定^fixedという。固定周期解に対応するリミットサイクルをF-サイクル^F-cycleという。
2. $\dot{v} = f(v)$の周期解$v (t)$がすべての$t$に対して、最小の周期$T$について次を満たせば対称^symmetricという。 $$ R x (t) = x \left( t + {\frac{ T }{ 2 }} \right) $$ 対称周期解に対応するリミットサイクルをS-サイクル^S-cycleという。

説明²

S-サイクルの定義において、当然ながら$R^{2} x = I x = x = x (t + T)$であることは容易に確認できる。形式的にF-サイクルが$R$という対称変換に対する固定点であると言うなら、S-サイクルは時間$t$に対しても対称性を持つ、まさに対称という名にふさわしいリミットサイクルであると言えるだろう。

タンジェント分岐

ピッチフォーク分岐