📂力学系

ダイナミクスにおけるリミットサイクルの分岐

定義 ¹

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n}$ と開集合 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ で連続な関数 $f : U \to \mathbb{R}^{n}$ に対して、次のようなベクトル場が微分方程式で与えられているとしよう。 $$ \dot{x} = f(x) $$ このシステムのリミットサイクル $L_{0}$ が横切る $\left( n-1 \right)$ 次元の曲面 $\Sigma$ で定義されたポアンカレ写像を $P : \Sigma \to \Sigma$ とおき、$L_{0}$ と $\Sigma$ の共通部分にある点 $\xi_{0}$ が写像 $P_{\alpha}$ の固定点、すなわち $P \left( \xi_{0} \right) = \xi_{0}$ を満たすとしよう。分岐パラメータ $\alpha$ に応じて $\xi_{0}$ が被る分岐をリミットサイクル $L$ の分岐という。

説明

すなわち、そもそもリミットサイクルの分岐とはポアンカレ写像の固定点の分岐である。これはリミットサイクルの双曲性を定義するのと類似しており、結果として分岐という概念を自然に拡張したものと見ることができる。実際、ほとんどの分岐図はポアンカレ断面に打たれる点、たとえば一つの軸の極値を集めたものであるから、非常に直感的な定義といえる。

サドルノード分岐

サドルノード分岐のように、二つの安定なリミットサイクルが出会って消滅する。

周期倍加分岐

周期倍加分岐のように、周期が二倍に増えたリミットサイクルが現れる。

ニーマーク・サッカー分岐

ニーマーク・サッカー分岐のように、リミットサイクルのすべての点ごとに新しいリミットサイクルが現れ、トーラスと同相な多様体が生じる。上の図は特にスーパークリティカルなニーマーク・サッカー分岐であるため、このような現象が起こる。