📂力学系

ハートマン・グロブマンの定理

定義¹

クラス $C^{r} \left( \mathbb{R}^{n} \right)$に属する$f$に対して、ベクトル場 $\dot{x} = f(x)$が固定点 $x_{0}$を持ち、$f$のヤコビアン $Df \left( x_{0} \right)$の固有値がすべて実部が0でないため双曲的であるとしよう。すると$\dot{\xi} = Df \left( x_{0} \right) \xi$は元のベクトル場を線形化したベクトル場である。$\dot{x} = f(x)$から作られるフローは$x = x_{0}$の近傍で$\dot{\xi} = Df \left( x_{0} \right) \xi$から作られるフローと$C^{0}$-共役である。

説明

$$ h \left( \phi (t , x) \right) = \psi \left( \alpha (t, x), h(x) \right) $$ 二つのフロー$\phi$と$\psi$に対するクラス共役の定義は、おおよそ上を満たすホメオモルフィズム $h \in C^{0}$が存在するということなので、ハートマン・グロブマンの定理^{Hartman-Grobman theorem}が言っているのは、事実上「双曲的固定点の近傍で元のベクトル場と線形化されたベクトル場が非常に似ている」という意味になる。非常に似ているということは位相的にはただ同じだということなので、極めて重要な内容である。