📂力学系

力学系間のクラス同値と共役の定義

定義¹

二つの力学系が$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$と$g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$に対して次のようなベクトル場で表されるとしよう。 $$ \begin{align*} \dot{x} =& f(x) \\ \dot{y} =& g(y) \end{align*} $$ $f$と$g$は$r$回微分可能であり、その導関数が連続であるクラス$C^{r}$に属するとし、以下$k \le r$とする。$f$と$g$からそれぞれ得られるフロー$\phi$と$\psi$に対して、ある微分同相写像$h \in C^{k}$が存在して、あるパラメータ化^{parametrization}$\alpha$に対して次を満たすならば、$f$と$g$は**$C^{k}$・同値**^{$C^{k}$-equivalent}であるという。 $$ h \left( \phi (t , x) \right) = \psi \left( \alpha (t, x), h(x) \right) $$ もし$h \in C^{k}$が存在し、時間$t$まで保存されて次を満たすならば、$f$と$g$は**$C^{k}$・共役**^{$C^{k}$-conjugate}であるという。 $$ h \left( \phi (t , x) \right) = \psi \left( t, h(x) \right) $$

定理

系の固定点と周期解に対して、次のような定理が知られている。

$f$と$g$が$C^{k}$・共役であれば、次が成り立つ。

• $f$の固定点は$g$の固定点に対応する。
• $f$の周期解は$g$の周期解に対応する。

$f$と$g$が$C^{k}$・同値であれば、次が成り立つ。

• $f$の固定点は$g$の固定点に対応する。
• $f$の周期解は$g$の周期解に対応する。ただし、周期は異なりうる。

説明

定義そのものは写像において定義される共役と力学系間の位相的同値で見たものの繰り返しであるといえる。

基本的にクラス共役は一般的な位相的共役と類似しているが、位相的共役が同相写像のみを要求するのに対し、クラス共役は微分可能性まで考えるという点が異なる。同値と共役の違いは、時間を保つか保たないか、簡単に言えばベクトル場が持つ速度の違いであると見てよい。同値というのは見かけ上の姿だけが似ていてもよいが、共役というのは姿が似ているだけでなく、周期性をはじめとする挙動^behaviorまで類似していなければならない。

関連リンク

• ハートマン・グロブマンの定理