📂力学系

力学系の対称性

定義 ^{1 2}

$I$を単位行列とする。正方行列$R \ne I$に対してベクトル場$\dot{v} = f(v)$が次を満たすならば、この力学系は対称性^symmetryを持つという。 $$ \begin{align*} R f(v) =& f (R v) \\ R^{2} =& I \end{align*} $$ このとき$R : v \mapsto Rv$を対称変換^{symmetry transformation}という。

説明

定義だけを見ても$R$の具体的な形は思い浮かばないだろうが、簡単に言えば変数の順序を入れ替えたり符号を反転させたりしても元の方程式が保たれればよい。最も親しみやすい例としてローレンツ・アトラクターを考えてみよう。

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - \sigma x + \sigma y \\ \dot{y} =& - xz + \rho x - y \\ \dot{z} =& xy - \beta z \end{align*} $$

ここで対角行列$\diag \left( -1, -1, 1 \right)$が存在して$R : (x, y, z) \mapsto (-x, -y, z)$と定義すると、$R f(v)$と$f(R v)$は次のようになる。 $$ \begin{align*} R \begin{bmatrix} - \sigma x + \sigma y \\ - xz + \rho x - y \\ xy - \beta z \end{bmatrix} =& f \begin{pmatrix} -x \\ -y \\ z \end{pmatrix} \\ \implies \begin{bmatrix} \sigma x - \sigma y \\ xz - \rho x + y \\ xy - \beta z \end{bmatrix} =& \begin{bmatrix} \sigma x - \sigma y \\ xz - \rho x + y \\ xy - \beta z \end{bmatrix} \end{align*} $$

簡単に言えば$R$は対角成分として$1$または$-1$を持つか、時には順列が掛けられていることもある。定義において$R = I$の場合を除外する理由は、当然ながら$R = I$を許すとすべてのシステムが対称性を持つといえてしまうからである。

変数の順序に無関係な対称性を巡回対称性^{cyclic symmetry}といい、その例となるシステムにはローレンツ96システムやトーマス・アトラクターなどがある。