プラントル数の定義
定義
比熱 $C_{p}$ と 粘性係数 $\mu$ の積を 熱伝導率 $k$ で割った 無次元量 を プラントル数Prandtl number とする。 $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_p \mu}{k} $$
説明
プラントル数の直観的な解釈は他の無次元量と同様にその大きさに比例する要素を考え、分子と分母に分けてみるとよい。$\mathrm{Pr}$ が大きいということは比熱が高いか粘性が大きいか熱伝導率が低いことを意味する。相対的に大きい $\mathrm{Pr} \gg 0$ というのは熱伝達の文脈では断熱材として優れているということになる。
- 比熱が高いと、その物質を加熱すること自体に時間がかかる。
- 粘性が大きいということは対流が起こりにくい。
- 熱伝導率が低いとエネルギー伝達が小さい。
- 逆に熱伝達効率を高める必要がある文脈では $\mathrm{Pr}$ は小さいほどよい。
一方、分子と分母に 密度 $\rho$ を考えると熱伝導率 $k$ は熱拡散率 $\alpha$ に対して $k = \rho C_{P} \alpha$ であり、粘性係数 $\mu$ は動粘性係数 $\nu$ に対して $\mu = \rho \nu$ であるので、プラントル数は次のようにより簡単な形で表すこともできる。 $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_{P} \mu}{\rho C_{P} \alpha} = \frac{\mu / \rho}{\alpha} = \frac{\nu}{\alpha} $$
他の無次元数との関係
シュミット数 と プラントル数 は次のように 動粘性係数 $\nu$ を約分し、その比で ルイス数 を表すことができる。 $$ \begin{align*} \mathrm{Sc} =& {\frac{ \nu }{ D }} \\ \mathrm{Pr} =& {\frac{ \nu }{ \alpha }} \\ \implies \mathrm{Le} =& = {\frac{ \nu }{ D }} \left( {\frac{ \nu }{ \alpha }} \right)^{-1} = \frac{ \mathrm{Sc} }{ \mathrm{Pr} } \end{align*} $$