ピークの法則と質量拡散度
法則
質量を持つ粒子の系systemを考え、体積が一定であるとする。ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n}$ における点 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ の密度を $\mathbf{u} = \mathbf{u} \left( \mathbf{x} \right)$ のように表す。拡散による流束 $\mathbf{J} \left( \mathbf{x} \right)$ を 拡散流束diffusion fluxという。拡散流束と密度に関する次の二つの法則を フィックの法則Fick’s lawsという。
第1法則
拡散流束は密度の変化量に比例する。 $$ \mathbf{J} \left( \mathbf{x} \right) = - D \nabla \mathbf{u} \left( \mathbf{x} \right) $$ ここで比例定数 $D$ を 質量拡散係数mass diffusivityと呼ぶ。
第2法則
密度は拡散方程式に従う。 $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} = D \nabla^2 \mathbf{u} $$
説明
直感的に言えば第1法則は「密度が減少する方向へ拡散が起きる」と一言で要約できる。熱伝導においてはフーリエの熱伝導法則に対応する。
第2法則は保存方程式とフィックの第1法則から導かれる。系で質量が保存されると仮定すれば、密度の時間変化と拡散流束の発散の和は0でなければならない。$\mathbf{J}$ は単位時間あたり単位面積を通過する量であるから、体積を占める領域の境界を出入りする量はその発散である $\nabla \cdot \mathbf{J}$ となり、次を得る。 $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$ これを保存方程式conservation equationという。
$\nabla \mathbf{u}$ のダイバージェンス: $$ \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} $$
保存方程式にフィックの第1法則を代入すると、次のように拡散方程式が導かれる。 $$ \begin{align*} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} =& - \nabla \cdot \mathbf{J} \\ =& - \nabla \cdot \left( - D \nabla \mathbf{u} \right) \\ =& D \nabla^2 \mathbf{u} \end{align*} $$
質量拡散係数の定義は、熱拡散率 $\alpha$ が熱方程式 $\mathbf{u}_{t} = \alpha \nabla^2 \mathbf{u}$ で定義されるものと同じである。