クラモト・シヴァシンスキー方程式
定義
$$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + {\frac{ \partial }{ \partial x }} \left( {\frac{ 1 }{ 2 }} u^{2} \right) + {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{4} u }{ \partial x^{4} }} = 0 $$
上の 偏微分方程式 を クラマモト-シバシンスキー方程式Kuramoto-Sivashinsky equation と呼ぶ。別の形として非線形項を展開して次のように表すこともある。
$$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{4} u }{ \partial x^{4} }} = 0 $$
説明
物理的な意味で考えると、$t$ に対する微分や $x$ に対する微分を含めることで バーガース方程式 になり、$x$ の二階微分は粘性viscosityを示し、$x$ の四階微分は反応拡散reaction-diffusionを反映する。
以下は当該方程式を スペクトル法 で解いたもの。
$1$次元空間で、上の 支配方程式 に従う $u = u \left( t ; x \right)$ は 顕著な様相を示す 力学系 を成す。
力学という分野でカオスが語られるとき、常微分方程式 に ローレンツ・アトラクタ があるように、偏微分方程式にはクラマモト-シバシンスキー方程式があると言っても過言ではない。それほど基本的で広く用いられる系である。