📂流体力学

レイノルズ数：層流と乱流の区別

定義 ¹

流体の密度 $\rho$ と流速 $v$、特性長さ $d$、粘性 $\mu$ に対して次のような無次元数を レイノルズ数^{Reynolds number}という。 $$ \mathrm{Re} := \frac{\rho v d}{\mu} $$ 経験的に、 $\mathrm{Re} < 2300$ のときは 層流^{laminar flow}、 $\mathrm{Re} > 4000$ のときは 乱流^{turbulent flow}が生じるとされる。

説明

²

いわゆるレイノルズ数の分子を 慣性力^{inertial force} と呼び、分母を 粘性力^{viscous force} と呼ぶ。つまり、レイノルズ数は慣性力と粘性力の比を表す。

慣性力が大きいということはそれだけ流体が本質とは別に持つエネルギーが大きいことを意味し、粘性力が小さいということは流体がより自由に振る舞えることを意味する。いずれにせよ $\textrm{Re}$ が大きくなると流体の運動はさらに複雑で不規則になり、我々が想像する乱流に近づく。

小さな水流を出している水道管を想像すると、バルブを開けると $d$ が大きくなり流速 $v$ が速くなるためレイノルズ数が大きくなり、実際に勢いよく流れる乱流になる。粘性力が極端に大きい例としてはゆっくり流れる溶岩のようなもので、この場合は容易に層流を想像できる。

層流

乱流

導出 ³

定義なので導出は必須ではないが、慣性力 $F_{n}$ と粘性力 $F_{t}$ の比からレイノルズ数が導出される過程を見てみる。あまり厳密ではないので参考程度にするのが良い。

まず流体の辺の長さが $l$ で質量が $m$ の微小な立方体を想像してみよう。

密度 との関係式は $m = \rho l^{3}$ であり、 $l$ は十分小さいので加速度 $a$ は流速 $u$ に関して次のように表せる。 $$ a = {\frac{ du }{ dt }} \approx {\frac{ u }{ l / u }} = {\frac{ u^{ 2 } }{ l }} $$ したがって慣性力 $F_{n}$ は次のように近似できる。 $$ \begin{align*} F_{n} =& ma \\ \approx& \rho l^{3} \cdot {\frac{ u^{ 2 } }{ l }} \\ =& \rho l^{2} u^{2} \end{align*} $$

一方、粘性力 $F_{t}$ は粘性応力 $\tau$ が作用する面積 $l^{2}$ の積で表されるので $F_{t} = - \tau l^{2}$ である。

ニュートンの粘性法則: $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

ニュートンの粘性法則は $x$ 方向のみを考えた1次元形とすると $\tau = - \mu du / dy$ であり $du / dy \approx u / l$ なので、 $F_{t}$ も次のように近似できる。 $$ \begin{align*} F_{t} =& - \tau l^{2} \\ =& - \left( - \mu {\frac{ du }{ dy }} \right) l^{2} \\ \approx& \mu \frac{u}{l} l^{2} \\ =& - \mu u l \end{align*} $$ 2つの力 $F_{n}$ と $F_{t}$ の比は次の通りである。 $$ {\frac{ F_{n} }{ F_{t} }} \approx {\frac{ \rho l^{2} u^{2} }{ \mu u l }} = {\frac{ \rho u l }{ \mu }} = \mathrm{Re} $$