プラトンの立体と分類定理の証明
定理
3次元のユークリッド空間 $\mathbb{R}^{3}$ において、すべての面が同じ正多角形であり、すべての頂点で出会う面の数が等しい立体を 正多面体regular polyhedron と呼ぶ。
凸 な正多面体は5種類しかなく、これを プラトンの立体Platonic solid と呼ぶ。プラトンの立体は正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体がある。
証明
存在性
正多面体の各面が正$p$角形であるとすると、内角一つの大きさ $\theta$ は次のようになる。 $$ \theta = {\frac{(p-2) \pi}{p}} $$
各頂点で出会う面の数を $q$ としよう。正多面体が凸であるためには、各頂点で内角 $\theta$ の面が $q$ 個集まり、その内角の和が $2\pi$ より小さくならなければならない。したがって、$(p, q)$ が次の不等式を満たす場合にのみ正多面体が存在し得る。 $$ \begin{align*} q \theta <& 2 \pi \\ \implies q {\frac{(p-2) \pi}{p}} <& 2 \pi \\ \implies q {\frac{(p-2)}{p}} <& 2 \end{align*} $$
正三角形の場合である $p = 3$ から順に代入して全ての組を調べてみよう。 $$ \begin{align*} q {\frac{ 1 }{ 3 }} <& 2 \\ \implies q <& 6 \end{align*} $$
$q$ は頂点で出会う面の数なので $q \ge 3$ でなければならない。したがって $p = 3$ の場合には $q = 3, 4, 5$ が可能である。正方形である $p = 4$ の場合には $$ \begin{align*} q {\frac{ 1 }{ 2 }} <& 2 \\ \implies q <& 4 \end{align*} $$ ゆえに $q = 3$ のみであり、正五角形である $p = 5$ の場合には $$ \begin{align*} q {\frac{ 3 }{ 5 }} <& 2 \\ \implies q <& {\frac{10}{3}} \\ \implies q <& 3.\dot{3} \end{align*} $$ ゆえに同様に $q = 3$ のみである。正六角形以上の $p \ge 6$ の場合には $$ \begin{align*} q {\frac{(p-2)}{p}} <& 2 \\ \implies 3 \le q <& {\frac{2p}{p-2}} \le 3 \end{align*} $$ ゆえに $p$ に対応する $q$ は存在しない。正多面体になり得るすべてのケースは次の五つだけであることがわかる。
- $(p, q) = (3, 3)$
- $(p, q) = (3, 4)$
- $(p, q) = (3, 5)$
- $(p, q) = (4, 3)$
- $(p, q) = (5, 3)$
分類
多面体の頂点の数を $n$、辺の数を $m$、面の数を $f$ としよう。正多面体の第一条件によればすべての面が正$p$角形であるから、各面は $p$ 本の辺を持つので $$ pf = 2m $$ である。正多面体の第二条件によれば各頂点で $q$ 個の面が出会うので次が成り立つ。 $$ qn = 2m $$
オイラーの多面体定理: 連結 な 平面グラフ $G$ に対して、 $n:=|V(G)|$、 $m:=|E(G)|$、 $f$ を面の数とすると $$ n-m+f=2 $$
オイラーの多面体定理に $f$、 $n$ を代入すると次を得る。 $$ \begin{align*} {\frac{ 2 }{ q }} m - m + {\frac{ 2 }{ p }} m =& 2 \\ \implies \left( {\frac{ 2 }{ q }} - 1 + {\frac{ 2 }{ p }} \right) m =& 2 \\ \implies \left( {\frac{ 2p + 2q - pq }{ pq }} \right) m =& 2 \\ \implies m =& {\frac{ 2pq }{ 2p + 2q - pq }} \end{align*} $$
さて $(p , q)$ をすべて代入して正多面体を構成する辺の数 $m$ を求め、正$f$面体を特定できる。 $$ \begin{align*} (3,3) \implies & m = 6 \implies 3 f = 12 & \left( 정사면체 \right) \\ (3,4) \implies & m = 12 \implies 3 f = 24 & \left( 정팔면체 \right) \\ (3,5) \implies & m = 30 \implies 3 f = 60 & \left( 정이십면체 \right) \\ (4,3) \implies & m = 12 \implies 4 f = 24 & \left( 정육면체 \right) \\ (5,3) \implies & m = 30 \implies 5 f = 60 & \left( 정십이면체 \right) \end{align*} $$
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そしてこの定理を証明した後に必ず見ておくべき動画がある。