📂流体力学

トリチェリの定理の証明

定理 ¹

流体の供給量と排出量が同じで水位 $h$ が一定で定常流をする流体を収めたタンクがあるとする。
この流体は非粘性かつ非圧縮性であると仮定する。断面積が $A_{1}$ で一定のタンクの最下部から断面積が $A_{2}$ でタンクに比べて非常に狭い管を通して排出される流量 $Q$ とその流速 $u_{2}$ は密度 $\rho$、重力加速度 $g$ に関して次のように表される。
$$ \begin{align*} u_{2} =& \sqrt{2 g h} \\ Q =& A_{2} \sqrt{2 g h} \end{align*} $$
これらを合わせて トリチェッリの定理^{Torricelli’s theorem}と呼ぶ。

説明

トリチェッリ定理の速度式は、古典力学で使う式である落下距離が $h$ の物体の速度 $v = \sqrt{2 g h}$ と等しい。

証明

ベルヌーイの方程式: 単位体積当たりのエネルギーは次のように表され、一定である。
$$ {\frac{ \rho u^{2} }{ 2 }} + \rho g z + p $$

タンクの水面 $1$ も出口 $2$ もそのエネルギーは等しく、ベルヌーイの方程式により次のようになる。
$$ {\frac{ \rho u_{1}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{1} + p_{1} = {\frac{ \rho u_{2}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{2} + p_{2} $$
ここで $p_{1}$ と $p_{2}$ は大気圧と等しいので互いに消去できる。
$$ {\frac{ \rho u_{1}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{1} = {\frac{ \rho u_{2}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{2} $$
両辺を $\rho$ で割り、$2$ を掛けると次のようになる。
$$ u_{1}^{2} + 2 g z_{1} = u_{2}^{2} + 2 g z_{2} $$

連続方程式
$$ Q = A_{1} u_{1} = A_{2} u_{2} $$

連続方程式によれば $u_{1} = (A_{2} / A_{1}) u_{2}$ であり、タンクの断面積に比べ出口断面積は非常に小さいので $A_{2} / A_{1} \approx 0$ であり、$u_{1}^{2} \approx 0$ と置ける。これを $u_{2}$ について整理すると次のようになる。
$$ u_{2} = \sqrt{ 2 g \left( z_{1} - z_{2} \right)} = \sqrt{ 2 g h } $$
そして再び、連続方程式により $Q = A_{2} u_{2}$ であることがわかる。

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