📂流体力学

流体力学におけるベルヌーイ方程式

定理 ¹

非粘性かつ非圧縮性の流体が定常流をする場合、$1$次元流体柱において高さ$z$における速度を$u$とする。圧力 $p$ と密度 $\rho$、重力加速度 $g$ に対して、高さ$z$における単位体積当たりのエネルギーは次の式で表され、一定である。 $$ {\frac{ \rho u^{2} }{ 2 }} + \rho g z + p $$

説明

上流と下流、簡単に言えば流入側と流出側があり管の断面が同じならば荷重がかかる下流側の方が速くなると直感的に予想できる。これは古典力学でのエネルギー保存則^{energy conservation law}が成り立つように位置エネルギーが運動エネルギーへ変わると見ることができる。

証明

オイラー方程式: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$

ベクトル形式で表したオイラー方程式を高さ$z$のみを考慮した1次元形に変えると$\mathbf{g} = - g$となるので次のようになる。 $$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial z }} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} {\frac{ \partial p }{ \partial z }} - g $$ 定常流を仮定するので$u_{t} = 0$と置ける。両辺に$\rho$を掛け、流線に沿って両辺を積分すると次を得る。 $$ \rho \int u {\frac{ \partial u }{ \partial z }} dz = - \int {\frac{ \partial p }{ \partial z }} dz - \rho g \int dz $$ すべての項を左辺へ移項すると、ある積分定数 $C$ に対して次のようになる。 $$ \begin{align*} \rho \int u {\frac{ \partial u }{ \partial z }} dz + \int {\frac{ \partial p }{ \partial z }} dz + \rho g \int dz =& C \\ \implies \rho {\frac{ u^{2} }{ 2 }} + p + \rho g z =& C \end{align*} $$

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