無次元量の定義
定義
物理学では、無次元量dimensionless quantityとは、次元が $1$ である物理量を指す。
説明
先に物理学の話を持ち出したが、最も代表的で馴染み深い無次元量は角度を表すラジアンである。ちょうど無次元量を理解するのにちょうどよい例なので、まずはそれと対比させる例として速度を考えてみる。
$$ v = {\frac{ \Delta s }{ \Delta t }} = \dfrac{\text{displacement}}{\text{time}} \implies \dim v = \dfrac{\mathsf{L}}{\mathsf{T}} = \mathsf{LT}^{-1} $$
速度は移動の変位を経過時間で割ったもので、長さを時間で割って $\mathsf{LT}^{-1}$ という次元を持つ。その値が10であろうと1であろうと、本質的に長さを時間で割っているため、その次元は残る。
一方、ラジアンは角の大きさを表す単位で、円の半径に対する弧長の比で定義される。簡単に言えば分子と分母がともに長さの次元 $\mathsf{L}$ を持つため、$\mathsf{L}$ 自体が互いに約分されて消え、したがってラジアンは次元が1の無次元量になる。
$$ \theta = \dfrac{\ell}{r} = \dfrac{\text{arc length}}{\text{radius}} \implies \dim \theta = \dfrac{\mathsf{L}}{\mathsf{L}} = 1 $$
無次元量の値を付けるときは 🔒(26/04/19)単位 を統一することが非常に重要だ。ラジアンの例を再び見ると、半径をメートルで測り弧長をインチで測って値をつけるようなことはしてはいけない。単位も約分されて消えるように値を揃える必要がある。
$$ \begin{align*} (\text{Incorrect})\quad &\dfrac{59.0551 \text{ inch}}{1 \text{ m}} = \xcancel{59.0551 \text{ rad}} \\[1em] (\text{Correct})\quad &\dfrac{59.0551 \text{ inch}}{1 \text{ m}} = \dfrac{1.5 \text{ m}}{1 \text{ m}} = \dfrac{1.5\ \cancel{\text{m}}}{1\ \cancel{\text{m}}} = 1.5 \text{ rad} \end{align*} $$