二つの事象が独立であれば、それらの余事象も独立であることの証明
概要
次のことが等価である。 $$ P(A \cap B) = P(A)P(B) \\ P(A \cap B^c)=P(A)P(B^c) \\ P(A^c \cap B)=P(A^c)P(B) \\ P(A^c \cap B^c)=P(A^c)P(B^c) $$
説明
これを知っていると大いに役立つだけでなく、公式としても利用できる。
証明
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ と仮定しよう。つまり、事件 $A$ と $B$ は独立である。補事象の性質により $$ P(A)=1-P(A^{ c }) \\ P(B)=1-P(B^{ c }) $$ であるから、$P(A \cap B) = P(A)P(B)$の右辺は $$ \begin{align*} P(A)P(B)&=(1-P(A^{ c }))(1-P(B^{ c })) \\ =& 1-P(A^{ c })-P(B^{ c })+P(A^{ c })P(B^{ c }) \end{align*} $$ そして、左辺はド・モルガンの定理により $$ \begin{align*} P(A\cap B) =& 1-P((A\cap B)^{ c }) \\ =& 1-P(A^{ c }\cup B^{ c }) \end{align*} $$ である。$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ の両辺に代入して整理すると $$ P(A^{ c }\cup B^{ c })=P(A^{ c })+P(B^{ c })-P(A^{ c })P(B^{ c }) $$ を得る。ここで、事件 $A$ と $B$ が互いに独立なので、確率の加法定理により $$ P(A^{ c }\cup B^{ c })=P(A^{ c })+P(B^{ c })-P(A^{ c }\cap B^{ c }) $$ 従って、 $$ P(A^{ c })P(B^{ c })=P(A^{ c }\cap B^{ c }) $$ を得る。つまり、$A$ と$B$ が独立ならば、$A^c$ と$B^c$ も独立である。一方、 $$ \begin{align*} P(A)P(B^{ c })&=P(A){1-P(B)} \\ &=P(A)-P(A)P(B) \\ &=P(A)-P(A)-P(B)+P(A\cup B) \\ &=P(A\cup B)-P(B) \\ &=P(A\cap B^{ c }) \end{align*} $$ であり、これは $A^c$ と $B$ についても同じである。
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