ベクトル場の勾配の発散

公式

ベクトル関数 $\mathbf{u} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ が滑らかであって $\mathbf{u} \in C^{2} \left( \mathbb{R}^{n} \right)$ としよう。 $\mathbf{u}$ の転置 $\left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T}$ に対する発散は次の通りである。 $$ \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) $$

説明

この公式はナビエ–ストークス方程式の導出において、対称化された勾配の発散を求めるときに用いられる。

この投稿の意義は、$\nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right)$ が実際にどのような形をしているかを手に取るように示し、転置 $^{T}$ が導出過程でどのように消えるかを確実に押さえる点にある。

注意すべきは、$\nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u}$ と違って2回連続で微分可能であるという仮定が必要だという点だ。物理学的には自然に満たされるが、常に成り立つわけではないので念頭に置いておこう。

導出

$$ \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( u_{1} , u_{2} , u_{3} \right) = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{2} u_{1} & \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} u_{2} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} u_{3} & \partial_{2} u_{3} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} $$

一般性を失うことなく $n = 3$ の場合についてのみ手計算で計算してみる。 $\partial_{i}$ は $i$ 番目の変数についての偏微分演算子を意味する。むしろこの程度の忠実な計算が流体力学などではより有用だろう。

$$ \begin{align*} \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} =& \nabla \cdot \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{1} u_{2} & \partial_{1} u_{3} \\ \partial_{2} u_{1} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{2} u_{3} \\ \partial_{3} u_{1} & \partial_{3} u_{2} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} \partial_{1} \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} \partial_{1} u_{2} + \partial_{3} \partial_{1} u_{3} \\ \partial_{1} \partial_{2} u_{1} + \partial_{2} \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} \partial_{2} u_{3} \\ \partial_{1} \partial_{3} u_{1} + \partial_{2} \partial_{3} u_{2} + \partial_{3} \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} \partial_{1} \partial_{1} u_{1} + \partial_{1} \partial_{2} u_{2} + \partial_{1} \partial_{3} u_{3} \\ \partial_{2} \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} \partial_{2} u_{2} + \partial_{2} \partial_{3} u_{3} \\ \partial_{3} \partial_{1} u_{1} + \partial_{3} \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} & \because \mathbf{u} \in C^{2} \left( \mathbb{R}^{n} \right) \\ = & \begin{bmatrix} \partial_{1} \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \\ \partial_{2} \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \\ \partial_{3} \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \end{bmatrix} \\ = & \nabla \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \\ = & \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \end{align*} $$