ベクトル勾配の発散

公式

ベクトル関数 $\mathbf{u} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ のグラディエント $\nabla \mathbf{u}$ に対するダイバージェンスは次のようになる。 $$ \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} $$

説明

この公式はナヴィエ–ストークス方程式の導出において対称化されたグラディエントのダイバージェンスを求めるときに使われる。

このポストの意義は導出過程そのものというよりも $\nabla^{2} \mathbf{u}$ が実際にどう見えるかを手に取るように示すことにある。

導出

$$ \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( u_{1} , u_{2} , u_{3} \right) = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{2} u_{1} & \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} u_{2} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} u_{3} & \partial_{2} u_{3} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} $$

一般性を失わずに $n = 3$ の場合についてのみ地道な計算で計算してみる。$\partial_{i}$ は $i$ 番目の変数に対する偏微分演算子を意味する。むしろこの程度の正直な計算は流体力学などではより有用だろう。

$$ \begin{align*} \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} =& \nabla \cdot \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{2} u_{1} & \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} u_{2} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} u_{3} & \partial_{2} u_{3} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \partial_{1} \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} \partial_{2} u_{1} + \partial_{3} \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} \partial_{1} u_{2} + \partial_{2} \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} \partial_{1} u_{3} + \partial_{2} \partial_{2} u_{3} + \partial_{3} \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \nabla^{2} u_{1} \\ \nabla^{2} u_{2} \\ \nabla^{2} u_{3} \end{bmatrix} \\ =& \nabla^{2} \mathbf{u} \end{align*} $$

これが混乱する理由はラプラシアンの定義がベクトル関数へ拡張される過程が省略されているか、あるいは行列の読み方の向きが明確でない場合があるためだ。

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