📂多変数ベクトル解析

対称化された勾配

定義 ¹

$\mathbf{u}$ のヤコビアンを簡単に $\nabla \mathbf{u}$ と表すことにしよう。このとき、次のように定義される行列演算 $\epsilon (\mathbf{u})$ を 対称化された勾配^{symmetrized gradient}という。 $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

説明

対称化された勾配はテンソル $\nabla \mathbf{u}$ とその転置行列^{transpose matrix} $\left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T}$ の平均として定義される。定義から明らかなように $\varepsilon (\mathbf{u})$ は対称行列である。

対称化された勾配は偏微分方程式を扱う際に現れることがあり、特にニュートンの粘性則を記述する際に現れることがある。主に $\mathbf{u}$ は3次元ベクトル関数として表される。勾配はスカラー関数に対して定義されるため、ベクトル関数として扱う $\mathbf{u}$ の勾配はヤコビアンである。より明確に行列形式で書くと次のとおりだ。 $$ \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( u_{1} , u_{2} , u_{3} \right) = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} $$