📂統計的分析

分数次ARIMAモデル (FARIMA)

モデル ^{1 2}

ハースト指数を $H$ のように表す。ホワイトノイズ $e_{t}$ と バックシフト演算子 $B$ そして 差分階数^{level of differencing} $d = H - 1/2$ に対して $$ \left( 1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_{i} B^{i} \right) \left( 1 - B \right)^{d} Y_{t} = \left( 1 + \sum_{i=1}^{q} \theta_{i} B^{i} \right) e_{t} $$ のように定義される $\left\{ Y_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ を $\left( p , d , q \right)$階の 分数階ARIMAモデル^{Fractional ARIMA Model} $\text{FARIMA} \left( p , d , q \right)$ と呼ぶ。

説明

ARIMAモデル: $$ \nabla^{d} Y_{t} := \sum_{i = 1}^{p} \phi_{i} \nabla^{d} Y_{t-i} + e_{t} - \sum_{i = 1}^{q} \theta_{i} e_{t-i} $$

二項級数: $$ \begin{align*} (1 + x )^{\alpha} =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k} \\ =& 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^{2} + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^{3} + \cdots \end{align*} $$

分数階ARIMAモデルはそれ自体でARIMAモデルの一般化であり、$\nabla^{d} = \left( 1 - B \right)^{d}$ が 実数 $d \in \mathbb{R}$ に対して形式的な 級数展開 を適用する。 $$ \left( 1 - B \right)^{d} = 1 - d B + {\frac{ d (d-1) }{ 2! }} B^{2} - {\frac{ d (d-1) (d-2) }{ 3! }} B^{3} + \cdots $$

自己回帰過程 $\text{AR}(p)$ のパラメータ $p$ は $d$ による無限級数を近似するために決定され、定常性のための差分が問題となる場合に突破口となり得る。

当然と言えば当然だが、モデルの実際の実装は式が示すように、事実上多くの自己回帰項を含むことになる。分数階ARIMAモデルの利点は長期依存性に強いと言われるが、実際に長い時系列データを扱えばそうならざるを得ない。もちろん欠点はそれだけ計算量が増えることで、副次的にはモデルの解釈が難しくなる点だ。