📂物理学

弾性率のさまざまな定義

定義 ¹

1. 物体の変形^deformationを引き起こす力を応力あるいはストレス^stressという。
2. 応力の結果として、変形の程度を測定した量をひずみ^strainという。
3. 応力とひずみの比を弾性率^{elastic modulus}という。 $$ \text{elastic modulus} = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} $$

弾性率には一般に三種類がある。

長さの弾性

4. 外部から加えられる力$F$と垂直な断面積$A$の比$F / A$を引張応力^{tensile stress}という。
5. 物体の元の長さ$L_{0}$と長さの変化量$\Delta L$の比$\Delta L / L_{0}$を引張ひずみ^{tensile strain}という。
6. 引張応力と引張ひずみの比$Y$をヤング率^{Young’s modulus}という。 $$ Y := \frac{\text{tensile stress}}{\text{tensile strain}} = \frac{F / A}{\Delta L / L_{0}} $$

形状の弾性

7. 物体が面積$A$のせん断面に接しながら押す力を$F$とするとき、力と面積の比$F / A$をせん断応力^{shear stress}という。
8. せん断面が水平方向に移動した距離を$\Delta x$とし、せん断面の高さを$h$とするとき、$\Delta x / h$をせん断ひずみ^{shear strain}という。
9. せん断応力とせん断ひずみの比$S$をせん断率^{shear modulus}という。 $$ S := \frac{\text{shear stress}}{\text{shear strain}} = \frac{F / A}{\Delta x / h} $$

体積の弾性

10. 表面積が$A$の物体に加えられる力を$F$とするとき、$P = F / A$を圧力^pressureという。圧力の変化量$\Delta P$を体積応力^{volume stress}という。
11. 物体の元の体積$V_{0}$と体積の変化量$\Delta V$の比$\Delta V / V_{0}$を体積ひずみ^{volume strain}という。
12. 体積応力と体積ひずみの比$B$を体積弾性率^{bulk modulus}という。 $$ B := \frac{\text{volume stress}}{\text{volume strain}} = - \frac{\Delta F / A}{\Delta V / V_{0}} = - \frac{\Delta P}{\Delta V / V_{0}} $$
13. 体積弾性率の逆数$B^{-1}$を圧縮率^{compressibility}という。

ここで$B$の定義にあるマイナス符号は、圧力が増加するときに体積が減少することを反映して$B$が正になるようにするために必要である。

説明

他のものはともかく、せん断応力については直観的に理解しにくいことがあるが、しばしば上の図のように厚い本を上から押しながら横に押して起こる変形を例に挙げることができるだろう。

流体の定義:

1. 液体と気体を合わせて呼ぶ言葉
2. 無作為に配列され互いに集まっている分子の集まり²

3. 静止状態では垂直応力が作用し、流動状態ではせん断力が及ぶと連続的に変形が起こって流れる物質¹

しかし実際にせん断ストレスに接するときは、厚い本が押される現象に関心があるわけではなく、少なくとも流体のような物質を扱うときに接することが多くなるだろう。

いきなり流体の定義で「垂直応力が作用し、せん断力によって変形が起こる」という説明を見ると理解しにくいが、厚い本の例のように「横に押しやられる」というせん断応力の概念を理解すれば、流体の動きをずっと鮮明に想像することができる。

静止状態で垂直応力が作用するというのは、文字どおり垂直に注がれながら崩れ落ちる性質である。重力や大気圧などによって上から下へ向かうストレスを受けると、突然の破壊が起こらず連続的な変形が起こる。一方、流動状態でせん断応力が作用するというのは、水平方向に流れながら起こる変形を導く。