平面上の垂線の足の座標の公式の導出
公式
点$P \left( x_{0} , x_{0} \right)$から直線$l :y = ax + b$に下ろした垂線の足を$Q$とする。$Q$の座標は次のとおりである。 $$ \left( {\frac{ 1 }{ 1 + a^{2} }} \left[ a^{2} y_{0} + a x_{0} + b \right] , {\frac{ 1 }{ 1 + a^{2} }} \left[ a y_{0} + x_{0} - ab \right] \right) $$
説明
垂線の足foot of the perpendicularとは、直線$l$と垂直で点$P$を通る直線と、直線$l$との交点のことをいう。
導出
垂直な二直線の傾き: 互いに垂直な二直線の傾きの積は常に$-1$である。
線分$\overline{PQ}$は$l$と垂直なので、その傾きは$-1/a$でなければならない。垂線の足の座標を$Q \left( x_{1} , y_{1} \right)$とすると、点$Q$は次の連立方程式の解となる。 $$ \begin{align} y_{1} &= a x_{1} + b \\ y_{0} - y_{1} &= -\frac{1}{a} \left( x_{0} - x_{1} \right) \label{eq:second} \end{align} $$ $y_{1}$を消去するために、$(1)$と$(2)$にそれぞれ$a$を掛けて足すと $$ \begin{align*} a y_{0} &= a^{2} x_{1} + ab - x_{0} + x_{1} \\ \implies a y_{0} + x_{0} - ab &= \left( 1 + a^{2} \right) x_{1} \end{align*} $$ を得る。$(2)$の両辺に$- a^{2}$を掛けると $$ a^{2} y_{1} = a^{2} y_{0} + a x_{0} - a x_{1} $$ を得て、これを$(1)$と足すと次を得る。 $$ \left( 1 + a^{2} \right) y_{1} = a^{2} y_{0} + a x_{0} + b $$
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