📂線形代数

部分空間の直交補空間

定義¹

ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W$ に対する集合

$$ W^{\perp} = \left\{ \mathbf{v} \in V \ : \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle = 0,\quad \forall \mathbf{w} \in W \right\} $$

を $W$ の直交補空間^{orthogonal complement}という。この時 $\langle , \rangle$ は内積である。

説明

つまり、$W^{\perp}$は $W$ のすべての元と直交するベクトルを集めた集合である。記号 $^{\perp}$ は perpendicular を縮めて perp[ぺるぷ] と読む。文字通りの定義だから特にユークリッド空間では容易に受け入れることができる定義だろう。簡単な例で、$\mathbb{R}^{3}$ から $W = \text{span} \left\{ (1,0,0) , (0,1,0) \right\}$ とするならば $W^{\perp} = \text{span} \left\{ (0,0,1) \right\}$ になる。

性質

$W$ と $R$ を $\mathbb{R}^{n}$ の部分空間、 $A \in M_{ m \times n}(\mathbb{R})$ としよう。すると、次の性質を満たす。

[1] $( W^{\perp} ) ^{\perp} = W$

[2] $ W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^{n} $

[3] $R \subset W \iff W^{\perp} \subset R^{\perp}$

[4] $\mathcal{N} (A)^{\perp} = \mathcal{R} (A)$

[5] $\mathcal{C} (A)^{\perp} = \mathcal{N} (A^{T})$

[6] $\mathbb{R}^m = \mathcal{C} (A) \oplus \mathcal{N} (A^{T})$

[7] $\mathbb{R}^n = \mathcal{R} (A) \oplus \mathcal{N}(A)$

これらの性質は、直交補空間の定義を考えると当たり前だと言えるだろう。ただし、[2] はチェックすることが多く少し厄介だ。これらの性質と一緒に重要なのは、零空間と列空間を一緒に考えた時の性質である。

これらの性質は一見複雑に見えるが、幸いにも $\perp$ が $T$ の逆さまに見えれば、覚えることは難しくない。内外に移動しながら $\mathcal{N}$ と $C$ を反転させるように考えれば、全く混乱することはないだろう。

一方、ランク・ヌルティ数定理も**[6], [7]** の結果に $\dim$ を適用したものと考えることもできるだろう。

定理

$W$ が内積空間 $V$ の部分空間であるならば、次が成立する。

(a) $W^{\perp}$ は $V$ の部分空間である。

(b) $W \cap W^{\perp} = \left\{ \mathbf{0} \right\}$

証明

(a)

すべての $\mathbf{w} \in W$ に対して $\langle \mathbf{w}, \mathbf{0} \rangle = 0$ であるため、少なくとも $\mathbf{0}$ は $W^{\perp}$ に含まれる。それは空集合ではないので、加法とスカラー乗法で閉じているかだけを確認すればよい。$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W^{\perp}$ $k\in R$ とする。すると、次の式が成り立つ。

$$ \begin{align*} \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle =& \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 + 0 = 0 \\ \langle k \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle =& k \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = k \cdot 0 = 0 \end{align*} $$ 従って、$W^{\perp}$ は部分空間である。

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(b)

$\mathbf{v} \in W \cap W^{\perp}$ とする。すると、$\mathbf{v}$ が $\mathbf{v}$ と直交するという意味であるので、

$$ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 $$

これを満たす $\mathbf{v}$ は内積の定義により $\mathbf{0}$ のみである。

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