📂確率論

二つの事象が互いに排他的である場合、それらは依存していることを証明する

定理

二つの事象$A,B$に対して、$B=A^c$ならば$P(A\cap B) \neq P(A)P(B)$

説明

式を使った証明がなくても、排反ならば独立ではありえないというのは常識だ。一つの事象が起きた時、もう一つが起きないということは、既に影響を与えているということだ。しかし、これを知っているかどうかは、真偽を判断する問題を解く時、非常に大きな違いがある。

証明

二つの事象$A,B$に対して、$P(A)>0, P(B)>0$としよう。この時、二つの事象は互いに排反であるため、$P(A\cap B)=0$が成り立つ。しかし、$P(A)>0, P(B)>0$であるため、$P(A)P(B)>0$となり、$P(A\cap B)\neq P(A)P(B)$が成り立たなければならない。

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