コクランの定理の証明
📂数理統計学コクランの定理の証明
定理
サンプル X=(X1,⋯,Xn) が X1,⋯,Xn∼iidN(0,σ2) のように iid で 正規分布 に従うとしよう。ランク が rj の 対称行列 A1,⋯,Ak∈Rn×n に対して 確率変数 Q1,⋯,Qk が ランダムベクトル二次形式 Qi:=XTAiX のように表され、サンプルの二乗和が ∑i=1nXi2=∑j=1kQj とすると、次が成立する。
∀j,σ2Qj∼χ2(rj)∧∀j1=j2,Qj1⊥Qj2⟺j=1∑krj=n
言い換えると、Qj たちが互いに 独立 であり カイ二乗分布 χ2(rj) に従うことと 同値条件 は、ランク rj たちの和がサンプルの大きさ n と等しいということだ。
説明
この定理は F検定 が使用される 分散分析 を支える理論的基盤となる。
証明
(⟹) Qj たちが互いに独立で Qj/σ2∼χ2(rj) と仮定しよう。
確率変数の足し算: Xi∼χ2(ri) ならば
i=1∑nXi∼χ2(i=1∑nri)
Qj/σ2 が 自由度 rj のカイ二乗分布に従うので、これらの確率変数の和は次のようなカイ二乗分布に従う。
j=1∑kσ2Qj∼χ2(j=1∑krj)
標準正規分布からのカイ二乗分布の導出: X∼N(μ,σ2) ならば
V=(σX−μ)2∼χ2(1)
X1,⋯,Xn は 正規分布 に従うので Xi2/σ2∼χ2(1) であり、その和は次のようなカイ二乗分布に従う。
i=1∑nσ2Xi2∼χ2(n)
大前提で ∑i=1nXi2=∑j=1kQj だとしたので、n=∑j=1krj でなければならない。
(⟸) ∑j=1krj=n だと仮定しよう。
j=1∑kQj===XT(A1+⋯+Ak)XXTXi=1∑nXi2
∑i=1nXi2=∑j=1kQj ということは上記と同様なので、In=∑j=1kAj であることがわかる。ここで行列 Bj=In−Aj と定義すると、Bj は Aj 以外の残りの A1,⋯,Ak を足したものに等しい。
行列ランクの準加法性: 行列 の ランク は 準加法性 を持つ。すなわち、二つの行列 A,B に対して次が成立する。
rank(A+B)≤rankA+rankB
Rj0 を Bj0 のランクとすれば、行列の和のランクは行列ランクの和以下であるため、次の不等式を得る。
Rj0=rankBj0≤rank(In−Aj0)=j=1∑krj−rj0=n−rj0
しかし一方で In=Aj0+Bj0 なので n≤rj0+Rj0⟹n−rj0≤Rj0 であり、正確には Rj0=n−rj0 が成り立つ。
これは Bj0 が Rj0=n−rj0 個の 0 ではない 固有値 を持っていることを意味する。Bj0 の固有値 λ は det(Bj0−λI)=0 を満足し、Bj0=In−Aj0 なので次のように書き直すことができる。
det(In−Aj0−λIn)=det(Aj0−(1−λ)In)=0
したがって Aj0 の固有値は Bj0 の固有値と 1 ずつ差があり、Bj0 の 0 の固有値が正確に rj0 個であったので、Aj0 は 1 の固有値を正確に rj0 個持ち、残りはすべて 0 である。
固有値が 0 と 1 しかない対称実数行列: 対称行列 A∈Rn×n の 固有値 がすべて 0 か 1 であるならば A は 冪等行列 である。
正規分布ランダムベクトル二次形式のカイ二乗性の同値条件: サンプル X=(X1,⋯,Xn) が X1,⋯,Xn∼iidN(0,σ2) のように iid で 正規分布 に従うとしよう。ランク が r≤n の 対称行列 A∈Rn×n に対して ランダムベクトル二次形式 を Q=σ−2XTAX とすれば、次が成立する。
Q∼χ2(r)⟺A2=A
すべての対称実数行列 A1,⋯,Ak は固有値が 0 と 1 しかないため、冪等行列であり、ランクが rj なので Qj/σ2 はカイ二乗分布 χ2(rj) に従う。
ホーグ-クレイグ定理: サンプル X=(X1,⋯,Xn) が X1,⋯,Xn∼iidN(0,σ2) のように iid で 正規分布 に従うとしよう。対称行列 A1,⋯,Ak∈Rn×n に対して 確率変数 Q1,⋯,Qk が ランダムベクトル二次形式 Qi:=XTAiX のように表され、対称行列 A と確率変数 Q を次のように定義しよう。
A=Q=A1+⋯+AkQ1+⋯+Qk
もし Q/σ2 が カイ二乗分布 χ2(r) に従い、i=1,⋯,k−1 に対して Qi/σ2∼χ2(ri) であり、Qk≥0 であれば、Q1,⋯,Qk は 独立 であり、Qk/σ2 は自由度が rk=r−r1−⋯−rk−1 のカイ二乗分布 χ2(rk) に従う。
ホーグ-クレイグ定理によって Q1,⋯,Qk は互いに独立である。
■