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行列ランクの準加法性の証明: rank(A+B) ≤ rankA + rankB 📂行列代数

行列ランクの準加法性の証明: rank(A+B) ≤ rankA + rankB

定理

行列ランク準加法性を持つ。つまり、二つの行列 A,BA, B に対して次が成り立つ。 rank(A+B)rankA+rankB \rank \left( A + B \right) \le \rank A + \rank B

説明

この定理はコクランの定理の証明で用いられる。

証明 1

行空間、列空間、零空間に関する基底(a1) 行等しい二つの行列は行空間が同じである。つまり、基本行演算は行空間を変えない。(b1) 行等しい二つの行列は零空間が同じである。つまり、基本行演算は零空間を変えない。

AA ' および BB ' がそれぞれガウスの消去法を通して得られた AA および BB既約な行階段形であるとする。AA 'rankA\rank A 個の 00 でない行ベクトルを持ち、BB 'rankB\rank B 個の 00 でない行ベクトルを持つので、A+BA ' + B ' は多くとも rankA\rank A または rankB\rank B 個の 00 でない行ベクトルを持つ。ガウスの消去法は基本行演算のみで構成されるため、A+BA + BA+BA ' + B ' と行等しく、そのランクは次の不等式を満たす。 rank(A+B)=rank{A+B}=max(rankA,rankB)rankA+rankB \begin{align*} & \rank \left( A + B \right) \\ =& \rank \left\{ A ' + B ' \right\} \\ =& \max \left( \rank A , \rank B \right) \\ \le & \rank A + \rank B \end{align*}


  1. user99680, Show rank(A)+rank(B)rank(A+B)\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) \ge \operatorname{rank}(A+B), URL (version: 2014-06-29): https://math.stackexchange.com/q/851605 ↩︎