📂行列代数

行列ランクの準加法性の証明: rank(A+B) ≤ rankA + rankB

定理

行列のランクは準加法性を持つ。つまり、二つの行列 $A, B$ に対して次が成り立つ。 $$ \rank \left( A + B \right) \le \rank A + \rank B $$

説明

この定理はコクランの定理の証明で用いられる。

証明 ¹

行空間、列空間、零空間に関する基底：(a1) 行等しい二つの行列は行空間が同じである。つまり、基本行演算は行空間を変えない。(b1) 行等しい二つの行列は零空間が同じである。つまり、基本行演算は零空間を変えない。

$A '$ および $B '$ がそれぞれガウスの消去法を通して得られた $A$ および $B$ の既約な行階段形であるとする。$A '$ は $\rank A$ 個の $0$ でない行ベクトルを持ち、$B '$ は $\rank B$ 個の $0$ でない行ベクトルを持つので、$A ' + B '$ は多くとも $\rank A$ または $\rank B$ 個の $0$ でない行ベクトルを持つ。ガウスの消去法は基本行演算のみで構成されるため、$A + B$ は $A ' + B '$ と行等しく、そのランクは次の不等式を満たす。 $$ \begin{align*} & \rank \left( A + B \right) \\ =& \rank \left\{ A ' + B ' \right\} \\ =& \max \left( \rank A , \rank B \right) \\ \le & \rank A + \rank B \end{align*} $$

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