正定行列の主対角成分の性質
定理
定符号行列 $A = \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ が与えられているとしよう。
主対角成分の符号
$A$ の主対角成分 $a_{ii}$ の符号は $A$ の符号と同じである。
- $A$ が正定値なら $a_{ii} > 0$
- $A$ が半正定値なら $a_{ii} \ge 0$
- $A$ が負定値なら $a_{ii} < 0$
- $A$ が半負定値なら $a_{ii} \le 0$
対称実行列で $0$ である主対角成分
実数 からなる半正定値行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ が対称行列 だとしよう。$A$ の主対角成分 $a_{ii}$ が $0$ ならば $i$ 番目の行と列は零ベクトルである。
説明
この性質はホグ＝クレイグの定理の証明で用いられる。
証明
一般性を失わずに、$A$ が半正定値であると仮定する。
行列 $A$ が半正定値であるということは任意のベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ に対して $\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \ge 0$ であるということであり、したがって標準基底ベクトル $\mathbf{x} = \mathbf{e}_{1} , \cdots , \mathbf{e}_{n}$ に対しても二次形式 $0$ 以上でなければならないということである。$\mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{i} \ge 0$ であるから、$A$ のすべての主対角成分 $\left( A \right)_{ii}$ もまた $0$ 以上でなければならない。
ここで $A$ が $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ かつ対称行列であると仮定し、ある実数 $x$ と添字 $j \ne i$ について $\mathbf{x} := \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j}$ としておく。もし $a_{ii} = 0$ が $0$ なら、$\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \ge 0$ なので次が成り立つ。 $$ \begin{align*} & \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \\ =& \left( \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j} \right)^{T} A \left( \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j} \right) \\ =& \mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{j} + x \mathbf{e}_{j}^{T} A \mathbf{e}_{i} + x^{2} \mathbf{e}_{j}^{T} A \mathbf{e}_{j} \\ =& a_{ii} + x a_{ij} + x a_{ji} + x^{2} a_{jj} \\ =& 2 x a_{ij} + x^{2} a_{jj} \\ \ge & 0 \end{align*} $$
解の公式：二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ （ただし $a\neq 0$）に対して $$ x=\dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} $$
$A$ が半正定値行列であると仮定しているので $a_{jj} \ge 0$ である。$2 x a_{ij} + x^{2} a_{jj} \ge 0$ ということは二次関数 $f(x) = a_{jj} x^{2} + 2 a_{ij} x$ のグラフである下に凸な放物線が $x$ 軸と接するか一点でしか交わらない、言い換えれば判別式の観点からは $b^{2} - 4ac \le 0$ であるということだ。$f$ を判別式に代入すると次のようになる。 $$ \left( 2 a_{ij} \right)^{2} - 4 \cdot a_{jj} \cdot 0 \le 0 $$ これによれば $4 a_{ij}^{2} \le 0$ を満たす場合は $a_{ij} = 0$ のみである。これは $j$ の選び方に依らず成り立つので $a_{i1} = \cdots = a_{in} = 0$ であり、$A$ は対称行列だから $a_{1i} = \cdots = a_{ni} = 0$ でもある。
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