📂行列代数

冪等行列の固有値が0または1であることの証明

定理

冪等行列の固有値は $0$ または $1$ だけだ。

説明

この補助定理は正規分布ランダムベクトル二次形式のカイ二乗性の同値条件の証明で使われる。

この定理の逆が成立するためには、与えられた冪等行列が実行列であり、対称行列でなければならない。

証明 ¹

$A$ が冪等行列、すなわち $A^{2} = A$ とするとする。 $\lambda$ と $x$ をそれぞれ $A$ の固有値、固有ベクトルとすると $$A^{2} x = A \lambda x = \lambda A x = \lambda^{2} x$$ であり、 $Ax = \lambda x$ で、 $A^{2} x = A x$ であるため $\lambda^{2} x = \lambda x$ を得る。 $x$ を固有ベクトルとしたので、零ベクトルではなく、$\lambda^{2} x - \lambda x = \mathbf{0}$ から $\lambda^{2} - \lambda = 0$ を得る。

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