正規分布ランダムベクトルの二次形式におけるカイ二乗性の同値条件
定理
サンプル $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ は $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right)$ に従って iid の 正規分布 に従うとする。ランク が $r \le n$ の 対称行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ に対して ランダムベクトルの二次形式 を $Q = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}$ とすると、次が成立する。 $$ Q \sim \chi^{2} (r) \iff A^{2} = A $$ 言い換えると、$Q$ が カイ二乗分布 $\chi^{2} (r)$ に従うというものの 同値条件 は、$A$ が 冪等行列 であることだ。
説明
この定理は ホグ-クレイグ定理の証明 と コクラン定理の証明 に用いられる。
証明
正規分布のランダムベクトル二次形式の積率生成関数: サンプル $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ は $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right)$ に従って iid の 正規分布 に従うとする。ランク が $r \le n$ の 対称行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ に対して ランダムベクトルの二次形式 $Q = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}$ の 積率生成関数 は次の通りだ。 $$ M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = \det \left( I_{n} - 2 t A \right)^{-1/2} \qquad , | t | < 1 / 2 \lambda_{1} $$ ここで $I_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ は 単位行列、$\det$ は 行列式 である。$\lambda_{1} \ge \cdots \ge \lambda_{r}$ は $A$ の $0$ ではない 固有値 を一般性を失わずに降順に並べたものだ。
$$ M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} $$ $Q$ の積率生成関数 $M_{Q} (t)$ は上記の通りだ。
$(\implies)$
カイ二乗分布の積率生成関数: 自由度 $r$ のカイ二乗分布に従う確率変数の 積率生成関数 は次の通りだ。 $$m(t) = (1-2t)^{-r/2} \qquad , t < {{ 1 } \over { 2 }}$$
$Q$ が $\chi^{2} (r)$ に従うと仮定すると、$Q$ の積率生成関数は $0$ 付近の $t$ で2つの形式を持つ。 $$ M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = (1-2t)^{-r/2} $$ 両辺を $-1/2$ 乗すると次を得る。 $$ \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right) = (1-2t)^{r} $$
固有値が $0$ と $1$ だけの対称実数行列: 対称行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ の 固有値 がすべて $0$ または $1$ であるとき、$A$ は 冪等行列 である。
係数が複素数である因数分解は多項式はその因数分解が唯一 であるため、$\lambda_{1} = \cdots = \lambda_{r} = 1$ だ。残りの固有値はすべて $0$ であるため、対称行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ は冪等行列だ。
$(\impliedby)$
$A$ が冪等行列であると仮定しよう。冪等行列の固有値は $0$ または $1$ だけで、$\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{r}$ を $0$ でない固有値だとするため、すべて $1$ だ。$Q$ の積率生成関数は次の通りであるため、$Q$ は自由度 $r$ のカイ二乗分布に従う。 $$ \begin{align*} M_{Q} (t) =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} \\ =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \right)^{-1/2} \\ =& \left( 1 - 2 t \right)^{-r/2} \end{align*} $$
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