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正規分布ランダムベクトルの二次形式のモーメント母関数 📂数理統計学

正規分布ランダムベクトルの二次形式のモーメント母関数

定理

サンプル X=(X1,,Xn)\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)X1,,XniidN(0,σ2)X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right) と同様に iid正規分布に従うとする。 ランクrnr \le n である 対称行列 ARn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} に対して、ランダムベクトル二次形式 Q=σ2XTAXQ = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}積率生成関数 は以下の通り。 MQ(t)=i=1r(12tλi)1/2=det(In2tA)1/2,t<1/2λ1 M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = \det \left( I_{n} - 2 t A \right)^{-1/2} \qquad , | t | < 1 / 2 \lambda_{1} ここで InRn×nI_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}単位行列det\det行列式である。λ1λr\lambda_{1} \ge \cdots \ge \lambda_{r}AA00 ではない 固有値を一般性を失わずに降順で並べたものである。

説明

この定理は ホーグ-クレイグ定理の証明に使われる。

証明 1

nn 次元の 零ベクトル0n\mathbf{0}_{n} と表現する。

スペクトル分解: スペクトル理論で言う A=QΛQA = Q \Lambda Q^{\ast} を以下のように 固有対 {(λk,ek)}k=1n\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n} の級数形で表現したものを スペクトル分解spectral decompositionという。 A=k=1nλkekek A = \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast}

AA対称行列であるため、QQ はスペクトル分解により以下のように表現できる。 Q=σ2XTAX=σ2XTi=1nλieieiTX=i=1rλi(XTeiσ1)(σ1eiTX)=i=1rλi(σ1eiTX)T(σ1eiTX)=i=1rλi(σ1eiTX)2 \begin{align*} Q =& \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X} \\ =& \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} e_{i} e_{i}^{T} \mathbf{X} \\ =& \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \left( \mathbf{X}^{T} e_{i} \sigma^{-1} \right) \left( \sigma^{-1} e_{i}^{T} \mathbf{X} \right) \\ =& \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \left( \sigma^{-1} e_{i}^{T} \mathbf{X} \right)^{T} \left( \sigma^{-1} e_{i}^{T} \mathbf{X} \right) \\ =& \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \left( \sigma^{-1} e_{i}^{T} \mathbf{X} \right)^{2} \end{align*} Γ1:=(e1T,,erT)Rr×n\Gamma_{1} := \left( e_{1}^{T} , \cdots , e_{r}^{T} \right) \in \mathbb{R}^{r \times n} として、ランダムベクトル W\mathbf{W}W=σ1Γ1X\mathbf{W} = \sigma^{-1} \Gamma_{1} \mathbf{X} とすると W=(W1,,Wr)\mathbf{W} = \left( W_{1} , \cdots , W_{r} \right)rr 次元ランダムベクトルとなる。 [W1Wr]=W=σ1Γ1X=[σ1e1TXσ1enTX] \begin{bmatrix} W_{1} \\ \vdots \\ W_{r} \end{bmatrix} = \mathbf{W} = \sigma^{-1} \Gamma_{1} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} \sigma^{-1} e_{1}^{T} \mathbf{X} \\ \vdots \\ \sigma^{-1} e_{n}^{T} \mathbf{X} \end{bmatrix} したがって QQ は以下のように表現できる。 Q=i=1rλi(σ1eiTX)2=i=1rλiWi2 Q = \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \left( \sigma^{-1} e_{i}^{T} \mathbf{X} \right)^{2} = \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} W_{i}^{2}

一方、ランダムベクトル X\mathbf{X} の各成分が正規分布 N(0,σ2)N \left( 0 , \sigma^{2} \right) に従うため、X\mathbf{X}多変量正規分布 Nn(0n,σ2In)N_{n} \left( \mathbf{0}_{n} , \sigma^{2} I_{n} \right) に従い、Γ1\Gamma_{1} の定義そのもので Γ1Γ1T=Ir\Gamma_{1} \Gamma_{1}^{T} = I_{r} である。

多変量正規分布の線形変換の正規性: 行列 ARm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}ベクトル bRm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} に対して 多変量正規分布に従う ランダムベクトル XNn(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right)線形変換 Y=AX+b\mathbf{Y} = A \mathbf{X} + \mathbf{b} はやはり多変量正規分布 Nm(Aμ+b,AΣAT)N_{m} \left( A \mu + \mathbf{b} , A \Sigma A^{T} \right) に従う。

多変量正規分布の線形変換の正規性に従って、W\mathbf{W} は次のように rr 次元多変量正規分布 Nr(0r,Ir)N_{r} \left( \mathbf{0}_{r} , I_{r} \right) に従うことがわかる。 W=σ1Γ1X+0r    WNr(σ1Γ10n+0r,(σ1Γ1)(σ2In)(σ1Γ1)T)    WNr(0r+0r,Γ1InΓ1T)    WNr(0r,Ir) \begin{align*} \mathbf{W} =& \sigma^{-1} \Gamma_{1} \mathbf{X} + \mathbf{0}_{r} \\ \implies \mathbf{W} \sim & N_{r} \left( \sigma^{-1} \Gamma_{1} \mathbf{0}_{n} + \mathbf{0}_{r} , \left( \sigma^{-1} \Gamma_{1} \right) \left( \sigma^{2} I_{n} \right) \left( \sigma^{-1} \Gamma_{1} \right)^{T} \right) \\ \implies \mathbf{W} \sim & N_{r} \left( \mathbf{0}_{r} + \mathbf{0}_{r} , \Gamma_{1} I_{n} \Gamma_{1}^{T} \right) \\ \implies \mathbf{W} \sim & N_{r} \left( \mathbf{0}_{r} , I_{r} \right) \end{align*}

標準正規分布からのカイ二乗分布導出: XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma ^2) の場合 V=(Xμσ)2χ2(1) V=\left( { X - \mu \over \sigma} \right) ^2 \sim \chi ^2 (1)

これは W\mathbf{W} の成分 W1,,WrW_{1} , \cdots , W_{r} がすべて iid標準正規分布に従うことを意味し、Wi2W_{i}^{2}カイ二乗分布 χ2(1)\chi^{2} (1) に従う。

カイ二乗分布の積率生成関数: 自由度 rr のカイ二乗分布に従う確率変数の 積率生成関数 は次の通り。 m(t)=(12t)r/2,t<12m(t) = (1-2t)^{-r/2} \qquad , t < {{ 1 } \over { 2 }}

QQ はカイ二乗分布に従う 確率変数線形結合であるため、その 積率生成関数 は以下の通り。 MQ(t)=E[exp(tQ)]=E[texp(i=1rλiWi2)]=i=1rE[exp(tλiWi2)]=i=1r(12tλi)1/2,t<1/2λ1 \begin{align*} & M_{Q} (t) \\ =& E \left[ \exp \left( t Q \right) \right] \\ =& E \left[ t \exp \left( \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} W_{i}^{2} \right) \right] \\ =& \prod_{i=1}^{r} E \left[ \exp \left( t \lambda_{i} W_{i}^{2} \right) \right] \\ =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} \qquad , | t | < 1 / 2 \lambda_{1} \end{align*}

直交行列の性質: 直交行列の行列式は 11 または 1-1 である。

最後に直交行列 Γ1\Gamma_{1} の行列式は ±1\pm 1 であり、 1=detIn=detΓ1TdetΓ1 1 = \det I_{n} = \det \Gamma_{1}^{T} \det \Gamma_{1} したがって 111-1 かに関わらず、Γ1\Gamma_{1}Γ1T\Gamma_{1}^{T} の行列式は符号が同じである。このため、In2tAI_{n} - 2 t A の行列式を求めることで MQ(t)M_{Q} (t) の別の形を得ることができる。 det(In2tA)=det(Γ1TΓ2tΓ1TΛΓ1)=det(Γ1T(In2tΛ)Γ1)=detΓ1Tdet(In2tΛ)detΓ1=(±1)det(In2tΛ)(±1)=det(In2tΛ)=det[12tλ100012tλ20001]=i=1r(12tλi)=[i=1r(12tλi)1/2]2 \begin{align*} & \det \left( I_{n} - 2 t A \right) \\ =& \det \left( \Gamma_{1}^{T} \Gamma - 2 t \Gamma_{1}^{T} \Lambda \Gamma_{1} \right) \\ =& \det \left( \Gamma_{1}^{T} \left( I_{n} - 2 t \Lambda \right) \Gamma_{1} \right) \\ =& \det \Gamma_{1}^{T} \det \left( I_{n} - 2 t \Lambda \right) \det \Gamma_{1} \\ =& \left( \pm 1 \right) \cdot \det \left( I_{n} - 2 t \Lambda \right) \cdot \left( \pm 1 \right) \\ =& \det \left( I_{n} - 2 t \Lambda \right) \\ =& \det \begin{bmatrix} 1 - 2 t \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 - 2 t \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \\ =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right) \\ =& \left[ \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} \right]^{-2} \end{align*} 両辺に 2-2 乗を取ることで証明が完了する。 det(In2tA)1/2=i=1r(12tλi)1/2 \det \left( I_{n} - 2 t A \right)^{-1/2} = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2}


  1. Hogg et al. (2018). Introduction to Mathematical Statistcs(8th Edition): p557~558. ↩︎