正規分布ランダムベクトルの二次形式のモーメント母関数
📂数理統計学正規分布ランダムベクトルの二次形式のモーメント母関数
定理
サンプル X=(X1,⋯,Xn) が X1,⋯,Xn∼iidN(0,σ2) と同様に iidで 正規分布に従うとする。 ランクが r≤n である 対称行列 A∈Rn×n に対して、ランダムベクトル二次形式 Q=σ−2XTAX の 積率生成関数 は以下の通り。
MQ(t)=i=1∏r(1−2tλi)−1/2=det(In−2tA)−1/2,∣t∣<1/2λ1
ここで In∈Rn×n は 単位行列、det は 行列式である。λ1≥⋯≥λr は A の 0 ではない 固有値を一般性を失わずに降順で並べたものである。
説明
この定理は ホーグ-クレイグ定理の証明に使われる。
証明
n 次元の 零ベクトルを 0n と表現する。
スペクトル分解: スペクトル理論で言う A=QΛQ∗ を以下のように 固有対 {(λk,ek)}k=1n の級数形で表現したものを スペクトル分解spectral decompositionという。
A=k=1∑nλkekek∗
A は 対称行列であるため、Q はスペクトル分解により以下のように表現できる。
Q=====σ−2XTAXσ−2XTi=1∑nλieieiTXi=1∑rλi(XTeiσ−1)(σ−1eiTX)i=1∑rλi(σ−1eiTX)T(σ−1eiTX)i=1∑rλi(σ−1eiTX)2
Γ1:=(e1T,⋯,erT)∈Rr×n として、ランダムベクトル W を W=σ−1Γ1X とすると W=(W1,⋯,Wr) は r 次元ランダムベクトルとなる。
W1⋮Wr=W=σ−1Γ1X=σ−1e1TX⋮σ−1enTX
したがって Q は以下のように表現できる。
Q=i=1∑rλi(σ−1eiTX)2=i=1∑rλiWi2
一方、ランダムベクトル X の各成分が正規分布 N(0,σ2) に従うため、X は 多変量正規分布 Nn(0n,σ2In) に従い、Γ1 の定義そのもので Γ1Γ1T=Ir である。
多変量正規分布の線形変換の正規性: 行列 A∈Rm×n と ベクトル b∈Rm に対して 多変量正規分布に従う ランダムベクトル X∼Nn(μ,Σ) の 線形変換 Y=AX+b はやはり多変量正規分布 Nm(Aμ+b,AΣAT) に従う。
多変量正規分布の線形変換の正規性に従って、W は次のように r 次元多変量正規分布 Nr(0r,Ir) に従うことがわかる。
W=⟹W∼⟹W∼⟹W∼σ−1Γ1X+0rNr(σ−1Γ10n+0r,(σ−1Γ1)(σ2In)(σ−1Γ1)T)Nr(0r+0r,Γ1InΓ1T)Nr(0r,Ir)
標準正規分布からのカイ二乗分布導出: X∼N(μ,σ2) の場合
V=(σX−μ)2∼χ2(1)
これは W の成分 W1,⋯,Wr がすべて iid で 標準正規分布に従うことを意味し、Wi2 は カイ二乗分布 χ2(1) に従う。
カイ二乗分布の積率生成関数: 自由度 r のカイ二乗分布に従う確率変数の 積率生成関数 は次の通り。
m(t)=(1−2t)−r/2,t<21
Q はカイ二乗分布に従う 確率変数の 線形結合であるため、その 積率生成関数 は以下の通り。
====MQ(t)E[exp(tQ)]E[texp(i=1∑rλiWi2)]i=1∏rE[exp(tλiWi2)]i=1∏r(1−2tλi)−1/2,∣t∣<1/2λ1
直交行列の性質: 直交行列の行列式は 1 または −1 である。
最後に直交行列 Γ1 の行列式は ±1 であり、
1=detIn=detΓ1TdetΓ1
したがって 1 か −1 かに関わらず、Γ1 と Γ1T の行列式は符号が同じである。このため、In−2tA の行列式を求めることで MQ(t) の別の形を得ることができる。
========det(In−2tA)det(Γ1TΓ−2tΓ1TΛΓ1)det(Γ1T(In−2tΛ)Γ1)detΓ1Tdet(In−2tΛ)detΓ1(±1)⋅det(In−2tΛ)⋅(±1)det(In−2tΛ)det1−2tλ10⋮001−2tλ2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1i=1∏r(1−2tλi)[i=1∏r(1−2tλi)−1/2]−2
両辺に −2 乗を取ることで証明が完了する。
det(In−2tA)−1/2=i=1∏r(1−2tλi)−1/2
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