📂行列代数

トゥープリッツ行列

定義

行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ の成分 $\left( A \right)_{ij}$ がすべての $i, j$ に対して $\left( A \right)_{i, j} = \left( A \right)_{i+1, j+1}$ を満たす場合、$A$ をトゥープリッツ行列^{Toeplitz matrix}という。言い換えれば、トゥープリッツ行列とは、次のように特定の対角線の成分がすべて同じ行列である。 $$A = \begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \cdots & a_{-n+1} \\ a_{1} & a_{0} & a_{-1} & \cdots & a_{-n+2} \\ a_{2} & a_{1} & a_{0} & \cdots & a_{-n+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m-1} & a_{m-2} & a_{m-3} & \cdots & a_{0} \end{bmatrix}$$

説明

トゥープリッツ行列はそのまま対角行列の一般化であり、三重対角行列として数値解析や最適化にしばしば現れる。

• ディリクレ境界条件が与えられた熱方程式に対する初期値問題の数値解析的解法
• $\ell_{1}$ トレンドフィルタリング

上の例で見られるように次のように有限差分を反映した行列は非常に有用である。 $$D = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & & & \\ & 1 & -2 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$$