📂数理統計学

ランダムベクトルの二次形式の期待値

公式

母平均ベクトル $\mu \in \mathbb{R}^{n}$ と 共分散行列 $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ に対して、ランダムベクトル が $\mathbf{X}$ となり、$\mathbf{X} \sim \left( \mu , \Sigma \right)$ とする。対称行列 $A$ に対して、ランダムベクトル二次形式 $Q = \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}$ の期待値は次の通りである。 $$ E (Q) = \operatorname{tr} A \Sigma + \mu^{T} A \mu $$ ここで $\mu^{T}$ は $\mu$ の転置行列であり、$\operatorname{tr}$ はトレースである。

導出 ¹

跡の循環性: $$ \operatorname{tr} (ABC) = \operatorname{tr} (BCA) = \operatorname{tr} (CAB) $$

ランダムベクトルの期待値とトレース: $E(\tr(\mathbf{X})) = \tr(E(\mathbf{X}))$

共分散行列: $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p}$ が $\mathbf{\mu} := \left( EX_{1} , \cdots , EX_{p} \right)$ のように与えられるとすると $$ \operatorname{Cov} (\mathbf{X}) = E \left[ \mathbf{X} \mathbf{X}^{T} \right] - \mathbf{\mu} \mathbf{\mu}^{T} $$

$$ \begin{align*} & E (Q) \\ =& E \left( \operatorname{tr} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X} \right) \\ =& E \left( \operatorname{tr} A \mathbf{X} \mathbf{X}^{T} \right) \\ =& \operatorname{tr} A E \left( \mathbf{X} \mathbf{X}^{T} \right) \\ =& \operatorname{tr} A \left( \Sigma + \mu \mu^{T} \right) \\ =& \operatorname{tr} A \Sigma + \operatorname{tr} A \mu \mu^{T} \\ =& \operatorname{tr} A \Sigma + \operatorname{tr} \mu^{T} A \mu \\ =& \operatorname{tr} A \Sigma + \mu^{T} A \mu \end{align*} $$

■