📂数理統計学

ランダムベクトルの二次形式

定義 ¹

ランダムベクトル $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ と 対称行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ に関して $Q = \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}$ を二次形式^{quadratic form in $\mathbf{X}$}と呼ぶ。

説明

二次形式は $A = \left( a_{ij} \right)$ が対称行列であるため、以下のように様々な方法で表現され、多くの場面で有用である。 $$ \begin{align*} & Q \\ =& \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X} \\ =& \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} X_{i} X_{j} \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{ii} X_{i}^{2} + \sum_{i \ne j} a_{ij} X_{i} X_{j} \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{ii} X_{i}^{2} + 2 \sum_{i > j} a_{ij} X_{i} X_{j} \end{align*} $$

ランダムベクトルの二次形式に関する理論は、特にF検定などで非常に重要である。

関連項目

• 線形代数における二次形式