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ディガンマ関数：ガンマ関数の導関数とその逆数の積

定義

対数ガンマ関数の導関数をディガンマ関数^{digamma function}と言います。

$$\psi_{0} (z) := \dfrac{d}{dz} \ln \Gamma (z) = \dfrac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma (z)}$$

定理

ガンマ関数 $\Gamma$ とオイラー-マスケローニ定数 $\gamma$ について、以下が成立します。 $${{ \Gamma ' (z) } \over { \Gamma (z) }} = - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n - 1 }} \right)$$

証明 ¹

ガンマ関数に対するワイエルシュトラスの無限積: ガンマ関数 $\Gamma : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ について以下が成立します。 $${1 \over \Gamma (x)} = x e^{\gamma x } \lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + {x \over k} \right) e^{- {x \over k} }$$

ワイエルシュトラスの無限積表現の逆数を取ると、次を得ます。 $$\Gamma (z) = {{ e^{-\gamma z} } \over { z }} \prod_{n=1}^{n} {{ e^{z/n} } \over { 1 + z/n }}$$ 積の微分法により $$\begin{align*} & \Gamma ' (z) \\ =& - {{ e^{-\gamma z} \left( 1 + \gamma z \right) } \over { z^{2} }} \prod_{n=1}^{n} {{ e^{z/n} } \over { 1 + z/n }} + {{ e^{-\gamma z} } \over { z }} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} \prod_{k=1}^{\infty} {{ e^{z/k} } \over { 1 + z/k }} \right] \\ =& - {{ e^{-\gamma z} \left( 1 + \gamma z \right) } \over { z^{2} }} {{ z } \over { e^{-\gamma z} }} \Gamma (z) + {{ e^{-\gamma z} } \over { z }} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} {{ z } \over { e^{-\gamma z} }} \Gamma (z) \right] \\ =& - {{ 1 + \gamma z } \over { z }} \Gamma (z) + \Gamma (z) \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} \right] \end{align*}$$ となり、両辺を $\Gamma (z)$ で割ると $$\begin{align*} {{ \Gamma ' (z) } \over { \Gamma (z) }} =& - {{ 1 + \gamma z } \over { z }} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} \right] \\ =& - \gamma - {{ 1 } \over { z }} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n }} \right] \\ =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n - 1 }} \right] \end{align*}$$ が成立します。

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